Algèbre Exemples

$y = - 3 \log_{6} (x)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = - 3 \log_{6} (y)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 \log_{6} (y) = x$ .

$- 3 \log_{6} (y) = x$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- 3 \log_{6} (y) = x$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 \log_{6} (y) = x$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 \log_{6} (y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 \log_{6} (y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $\log_{6} (y)$ par $1$ .

$\log_{6} (y) = \frac{x}{- 3}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\log_{6} (y) = - \frac{x}{3}$

Étape 2.3

Réécrivez $\log_{6} (y) = - \frac{x}{3}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$6^{- \frac{x}{3}} = y$

Étape 2.4

Réécrivez l’équation comme $y = 6^{- \frac{x}{3}}$ .

$y = 6^{- \frac{x}{3}}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 6^{- \frac{x}{3}}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 6^{- \frac{x}{3}}$ est l’inverse de $f (x) = - 3 \log_{6} (x)$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x)) = 6^{- \frac{- 3 \log_{6} (x)}{3}}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 4.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 \log_{6} (x)$ .

$f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x)) = 6^{- \frac{3 (- \log_{6} (x))}{3}}$

Étape 4.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x)) = 6^{- \frac{3 (- \log_{6} (x))}{3 (1)}}$

Étape 4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x)) = 6^{- \frac{3 (- \log_{6} (x))}{3 \cdot 1}}$

Étape 4.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x)) = 6^{- \frac{- \log_{6} (x)}{1}}$

Étape 4.2.3.2.4

Divisez $- \log_{6} (x)$ par $1$ .

$f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x)) = 6^{\log_{6} (x)}$

Étape 4.2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x)) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (6^{- \frac{x}{3}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = - 3 \log_{6} (6^{- \frac{x}{3}})$

Étape 4.3.3

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- \frac{x}{3}$ de l’exposant.

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = - 3 (- \frac{x}{3} \cdot \log_{6} (6))$

Étape 4.3.4

La base logarithmique $6$ de $6$ est $1$ .

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = - 3 (- \frac{x}{3} \cdot 1)$

Étape 4.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = - 3 (- \frac{x}{3})$

Étape 4.3.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{3}$ dans le numérateur.

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = - 3 \frac{- x}{3}$

Étape 4.3.6.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = 3 (- 1) (\frac{- x}{3})$

Étape 4.3.6.3

Annulez le facteur commun.

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = 3 \cdot (- 1 \frac{- x}{3})$

Étape 4.3.6.4

Réécrivez l’expression.

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = - 1 (- x)$

Étape 4.3.7

Multipliez.

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Étape 4.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = 1 x$

Étape 4.3.7.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 6^{- \frac{x}{3}}$ est l’inverse de $f (x) = - 3 \log_{6} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = 6^{- \frac{x}{3}}$