Algèbre Exemples

$\frac{3 k^{2} - 12 k - 36}{4 k^{5} - 16 k^{3}} \div \frac{4 k - 24}{9 k^{4} - 18 k^{3}}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 k^{2} - 12 k - 36}{4 k^{5} - 16 k^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$4 k^{5} - 16 k^{3} = 0$

Étape 2

Résolvez $k$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $4 k^{3}$ à partir de $4 k^{5} - 16 k^{3}$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $4 k^{3}$ à partir de $4 k^{5}$ .

$4 k^{3} (k^{2}) - 16 k^{3} = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $4 k^{3}$ à partir de $- 16 k^{3}$ .

$4 k^{3} (k^{2}) + 4 k^{3} (- 4) = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $4 k^{3}$ à partir de $4 k^{3} (k^{2}) + 4 k^{3} (- 4)$ .

$4 k^{3} (k^{2} - 4) = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 k^{3} (k^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez.

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Étape 2.1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = k$ et $b = 2$ .

$4 k^{3} ((k + 2) (k - 2)) = 0$

Étape 2.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 k^{3} (k + 2) (k - 2) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$k^{3} = 0$

$k + 2 = 0$

$k - 2 = 0$

Étape 2.3

Définissez $k^{3}$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $k^{3}$ égal à $0$ .

$k^{3} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $k^{3} = 0$ pour $k$ .

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Étape 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$k = \sqrt[3]{0}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$k = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 2.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$k = 0$

Étape 2.4

Définissez $k + 2$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $k + 2$ égal à $0$ .

$k + 2 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$k = - 2$

Étape 2.5

Définissez $k - 2$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $k - 2$ égal à $0$ .

$k - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$k = 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 k^{3} (k + 2) (k - 2) = 0$ vraie.

$k = 0, - 2, 2$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 k - 24}{9 k^{4} - 18 k^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$9 k^{4} - 18 k^{3} = 0$

Étape 4

Résolvez $k$ .

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Étape 4.1

Factorisez $9 k^{3}$ à partir de $9 k^{4} - 18 k^{3}$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $9 k^{3}$ à partir de $9 k^{4}$ .

$9 k^{3} (k) - 18 k^{3} = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez $9 k^{3}$ à partir de $- 18 k^{3}$ .

$9 k^{3} (k) + 9 k^{3} (- 2) = 0$

Étape 4.1.3

Factorisez $9 k^{3}$ à partir de $9 k^{3} (k) + 9 k^{3} (- 2)$ .

$9 k^{3} (k - 2) = 0$

Étape 4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$k^{3} = 0$

$k - 2 = 0$

Étape 4.3

Définissez $k^{3}$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $k^{3}$ égal à $0$ .

$k^{3} = 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $k^{3} = 0$ pour $k$ .

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Étape 4.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$k = \sqrt[3]{0}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$k = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 4.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$k = 0$

Étape 4.4

Définissez $k - 2$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $k - 2$ égal à $0$ .

$k - 2 = 0$

Étape 4.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$k = 2$

Étape 4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $9 k^{3} (k - 2) = 0$ vraie.

$k = 0, 2$

Étape 5

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 k^{2} - 12 k - 36}{4 k^{5} - 16 k^{3}} \div \frac{4 k - 24}{9 k^{4} - 18 k^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\frac{4 k - 24}{9 k^{4} - 18 k^{3}} = 0$

Étape 6

Résolvez $k$ .

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Étape 6.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 k - 24 = 0$

Étape 6.2

Résolvez l’équation pour $k$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $24$ aux deux côtés de l’équation.

$4 k = 24$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $4 k = 24$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 k = 24$ par $4$ .

$\frac{4 k}{4} = \frac{24}{4}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 k}{4} = \frac{24}{4}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $k$ par $1$ .

$k = \frac{24}{4}$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.3.1

Divisez $24$ par $4$ .

$k = 6$

Étape 7

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$k = - 2, k = 0, k = 2, k = 6$

Étape 8