Algèbre Exemples

$\log_{2} (2 x^{3} - 8) - 2 \log_{2} (x) = \log_{2} (x)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{2} (2 x^{3} - 8) - 2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x) = 0$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} - 8}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

Étape 3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} - 8$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3}) - 8}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 4}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 2 \cdot - 4$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

Étape 4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1

Simplifiez $\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}) - 2 \log_{2} (x)$ .

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Étape 4.1.1

Simplifiez $- 2 \log_{2} (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}) - \log_{2} (x^{2}) = 0$

Étape 4.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}}{x^{2}}) = 0$

Étape 4.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}) = 0$

Étape 4.1.4

Associez.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x \cdot x^{2}}) = 0$

Étape 4.1.5

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.1.5.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x^{1} x^{2}}) = 0$

Étape 4.1.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x^{1 + 2}}) = 0$

Étape 4.1.5.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x^{3}}) = 0$

Étape 4.1.6

Multipliez $2 (x^{3} - 4)$ par $1$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x^{3}}) = 0$

Étape 5

Réécrivez $\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x^{3}}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{0} = \frac{2 (x^{3} - 4)}{x^{3}}$

Étape 6

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$2 (x^{3} - 4) = 2^{0} (x^{3})$

Étape 7

Simplifiez $2^{0} (x^{3})$ .

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Étape 7.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$2 (x^{3} - 4) = 1 x^{3}$

Étape 7.2

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$2 (x^{3} - 4) = x^{3}$

Étape 8

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Soustrayez $x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$2 (x^{3} - 4) - x^{3} = 0$

Étape 8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} + 2 \cdot - 4 - x^{3} = 0$

Étape 8.2.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$2 x^{3} - 8 - x^{3} = 0$

Étape 8.3

Soustrayez $x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$x^{3} - 8 = 0$

Étape 9

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Étape 9.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Étape 9.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Étape 10

Simplifiez $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

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Étape 10.1

Développez $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 10.2

Simplifiez les termes.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.2.1.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 10.2.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 10.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 10.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{3} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 10.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 10.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.2.1.3.1

Déplacez $x$ .

$x^{3} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 10.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 10.2.1.4

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 10.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 10.2.1.6

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8 = 0$

Étape 10.2.2

Associez les termes opposés dans $x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8$ .

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Étape 10.2.2.1

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{3} + 4 x + 0 - 4 x - 8 = 0$

Étape 10.2.2.2

Additionnez $x^{3} + 4 x$ et $0$ .

$x^{3} + 4 x - 4 x - 8 = 0$

Étape 10.2.2.3

Soustrayez $4 x$ de $4 x$ .

$x^{3} + 0 - 8 = 0$

Étape 10.2.2.4

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$x^{3} - 8 = 0$

Étape 11

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} = 8$

Étape 12

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 8 = 0$

Étape 13

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 13.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Étape 13.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 13.3

Simplifiez

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Étape 13.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Étape 13.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Étape 14

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Étape 15

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 15.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 15.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 16

Définissez $x^{2} + 2 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 16.1

Définissez $x^{2} + 2 x + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Étape 16.2

Résolvez $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 16.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 16.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 16.2.3

Simplifiez

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Étape 16.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 16.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 16.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 16.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 16.2.3.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 16.2.3.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 16.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 16.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 16.2.3.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 16.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 16.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 16.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 16.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 16.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 16.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 16.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 17

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$