Algèbre Exemples

$y = {(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez ${(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)}$ comme $e^{\ln ({(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)})}]$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)})$ en déplaçant $- \sin (x)$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} \frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)]$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)]$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \ln (3 x^{4} - 2 x)$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} - 2 x)] + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x^{4} - 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x^{4} - 2 x$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Étape 5.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\sin (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x^{4} - 2 x$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\sin (x) (\frac{1}{3 x^{4} - 2 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Étape 6

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Associez $\frac{1}{3 x^{4} - 2 x}$ et $\sin (x)$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2 x] + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Étape 6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Étape 6.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Étape 6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Étape 6.5

Multipliez $4$ par $3$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Étape 6.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Étape 6.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2 \cdot 1) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Étape 6.8

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Étape 7

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \cos (x)))$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2)) - (\ln (3 x^{4} - 2 x) \cos (x)))$

Étape 8.2

Supprimez les parenthèses.

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- \frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2) - \ln (3 x^{4} - 2 x) \cos (x))$