Algèbre Exemples

$x \sqrt{4 x + 3}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 x + 3}$ comme ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 4 x + 3$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x + 3$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.3

Placez ${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x + 3] + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 12

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{x}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 14

Simplifiez les termes.

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Étape 14.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{x}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4 + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 14.2

Associez $\frac{x}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $4$ .

$\frac{x \cdot 4}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 14.3

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{4 \cdot x}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 14.4

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 15

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 ({(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}})} + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x)}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 15.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 x}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 17

Multipliez ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{2 x}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 18

Pour écrire ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20

Multipliez ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 20.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x + {(4 x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x + {(4 x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{2 x + {(4 x + 3)}^{1}}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21

Simplifiez ${(4 x + 3)}^{1}$ .

$\frac{2 x + 4 x + 3}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22

Additionnez $2 x$ et $4 x$ .

$\frac{6 x + 3}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$