Algèbre Exemples

$y = \frac{\sin (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sin (2 x)$ et $g (x) = 1 + \cos (2 x)$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) (2 \cdot 1) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $(1 + \cos (2 x)) \cos (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot ((1 + \cos (2 x)) \cos (2 x)) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 3.6

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 5

Multipliez.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + 1 \sin (2 x) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 5.2

Multipliez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin (2 x) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 6

Élevez $\sin (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 7

Élevez $\sin (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x) (2 \cdot 1)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 12

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x) \cdot 2}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 12.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sin^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + 2 \cdot \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \cos (2 x)) \cos (2 x) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 13.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 \cos (2 x) + 2 \cos (2 x) \cos (2 x) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.3.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos (2 x) \cos (2 x) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 13.3.1.2

Multipliez $2 \cos (2 x) \cos (2 x)$ .

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Étape 13.3.1.2.1

Élevez $\cos (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\cos^{1} (2 x) \cos (2 x)) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 13.3.1.2.2

Élevez $\cos (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x)) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 13.3.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 {\cos (2 x)}^{1 + 1} + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 13.3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (2 x) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 13.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 13.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \sin^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 (\sin^{2} (2 x))}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 13.3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 (\sin^{2} (2 x))$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\cos^{2} (2 x) + \sin^{2} (2 x))}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 13.3.5

Réorganisez les termes.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x))}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 13.3.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cdot 1}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 13.3.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 13.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 + 2 \cos (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 13.5

Factorisez $2$ à partir de $2 + 2 \cos (2 x)$ .

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Étape 13.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 13.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1 + 2 \cos (2 x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x))}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 13.6

Annulez le facteur commun à $1 + \cos (2 x)$ et ${(1 + \cos (2 x))}^{2}$ .

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Étape 13.6.1

Factorisez $1 + \cos (2 x)$ à partir de $2 (1 + \cos (2 x))$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cdot 2}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 13.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.6.2.1

Factorisez $1 + \cos (2 x)$ à partir de ${(1 + \cos (2 x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cdot 2}{(1 + \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}$

Étape 13.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cdot 2}{(1 + \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}$

Étape 13.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1 + \cos (2 x)}$