Algèbre Exemples

$\frac{42^{x}}{6^{x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 42^{x}$ et $g (x) = 6^{x}$ .

$\frac{6^{x} \frac{d}{d x} [42^{x}] - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{{(6^{x})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(6^{x})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6^{x} \frac{d}{d x} [42^{x}] - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{6^{x \cdot 2}}$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{6^{x} \frac{d}{d x} [42^{x}] - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{6^{2 x}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $42$ .

$\frac{6^{x} (42^{x} \ln (42)) - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{6^{2 x}}$

Étape 4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1

Réécrivez $42^{x} \cdot 6^{x}$ comme ${(42 \cdot 6)}^{x}$ .

$\frac{{(42 \cdot 6)}^{x} \ln (42) - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{6^{2 x}}$

Étape 4.2

Multipliez $42$ par $6$ .

$\frac{252^{x} \ln (42) - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{6^{2 x}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $6$ .

$\frac{252^{x} \ln (42) - 42^{x} (6^{x} \ln (6))}{6^{2 x}}$

Étape 6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.1

Réécrivez $6^{x} \cdot 42^{x}$ comme ${(6 \cdot 42)}^{x}$ .

$\frac{252^{x} \ln (42) - {(6 \cdot 42)}^{x} \ln (6)}{6^{2 x}}$

Étape 6.2

Multipliez $6$ par $42$ .

$\frac{252^{x} \ln (42) - 252^{x} \ln (6)}{6^{2 x}}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Factorisez $252^{x}$ à partir de $252^{x} \ln (42) - 252^{x} \ln (6)$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $252^{x}$ à partir de $252^{x} \ln (42)$ .

$\frac{252^{x} (\ln (42)) - 252^{x} \ln (6)}{6^{2 x}}$

Étape 7.1.2

Factorisez $252^{x}$ à partir de $- 252^{x} \ln (6)$ .

$\frac{252^{x} (\ln (42)) + 252^{x} (- \ln (6))}{6^{2 x}}$

Étape 7.1.3

Factorisez $252^{x}$ à partir de $252^{x} (\ln (42)) + 252^{x} (- \ln (6))$ .

$\frac{252^{x} (\ln (42) - \ln (6))}{6^{2 x}}$

Étape 7.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{252^{x} \ln (\frac{42}{6})}{6^{2 x}}$

Étape 7.3

Divisez $42$ par $6$ .

$\frac{252^{x} \ln (7)}{6^{2 x}}$