Algèbre Exemples

${(5 x)}^{3 \cos (2 x)}$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{3 \cos (2 x)}]$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)} x^{3 \cos (2 x)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 5^{3 \cos (2 x)}$ et $g (x) = x^{3 \cos (2 x)}$ .

$5^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [x^{3 \cos (2 x)}] + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Étape 3

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 3.1

Réécrivez $x^{3 \cos (2 x)}$ comme $e^{\ln (x^{3 \cos (2 x)})}$ .

$5^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{3 \cos (2 x)})}] + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Étape 3.2

Développez $\ln (x^{3 \cos (2 x)})$ en déplaçant $3 \cos (2 x)$ hors du logarithme.

$5^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}] + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 \cos (2 x) \ln (x)$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 \cos (2 x) \ln (x)$ .

$5^{3 \cos (2 x)} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x) \ln (x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$5^{3 \cos (2 x)} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x) \ln (x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 \cos (2 x) \ln (x)$ .

$5^{3 \cos (2 x)} (e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x) \ln (x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (2 x) \ln (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]$ .

$5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Étape 5.2

Déplacez $3$ à gauche de $5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}$ .

$3 \cdot (5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}) \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)] + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (2 x)$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Étape 7

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\cos (2 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Étape 8

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{x}$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 9.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Étape 9.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Étape 9.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Étape 10

Différenciez.

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Étape 10.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Étape 10.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Étape 10.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 5^{x}$ et $g (x) = 3 \cos (2 x)$ .

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Étape 11.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $3 \cos (2 x)$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + x^{3 \cos (2 x)} (\frac{d}{d u_{3}} [5^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x)])$

Étape 11.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + x^{3 \cos (2 x)} (5^{u_{3}} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x)])$

Étape 11.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $3 \cos (2 x)$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + x^{3 \cos (2 x)} (5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x)])$

Étape 12

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 12.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) (3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Étape 12.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5)$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + 3 \cdot (x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 13.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $2 x$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + 3 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 13.2

La dérivée de $\cos (u_{4})$ par rapport à $u_{4}$ est $- \sin (u_{4})$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + 3 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 13.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $2 x$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + 3 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 14

Différenciez.

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Étape 14.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 3 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 14.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 3 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 14.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 14.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x) \cdot 1$

Étape 14.5

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} \frac{\cos (2 x)}{x} + 3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

Étape 15.2

Associez des termes.

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Étape 15.2.1

Associez $3$ et $\frac{\cos (2 x)}{x}$ .

$5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} \frac{3 \cos (2 x)}{x} + 3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

Étape 15.2.2

Associez $\frac{3 \cos (2 x)}{x}$ et $5^{3 \cos (2 x)}$ .

$\frac{3 \cos (2 x) \cdot 5^{3 \cos (2 x)}}{x} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} + 3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

Étape 15.2.3

Associez $\frac{3 \cos (2 x) \cdot 5^{3 \cos (2 x)}}{x}$ et $e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}$ .

$\frac{3 \cos (2 x) \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}}{x} + 3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

Étape 15.2.4

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{3 \cos (2 x) \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}}{x} - 6 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} \ln (x) \sin (2 x) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

Étape 15.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 6 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} \sin (2 x) \ln (x) - 6 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} x^{3 \cos (2 x)} \sin (2 x) \ln (5) + \frac{3 \cos (2 x) \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}}{x}$