Algèbre Exemples

$\ln (x^{3} \sin^{2} (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{3} \sin^{2} (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{3} \sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{3} \sin^{2} (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3} \sin^{2} (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{3} \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [x^{3} \sin^{2} (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Étape 6.2

Associez des termes.

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Étape 6.2.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ .

$\frac{x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)} (2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Étape 6.2.2

Associez $2$ et $\frac{x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ .

$\frac{2 x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin (x) \cos (x)) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Étape 6.2.3

Associez $\sin (x)$ et $\frac{2 x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (2 x^{3})}{x^{3} \sin^{2} (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Étape 6.2.4

Associez $\frac{\sin (x) (2 x^{3})}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 x^{3}) \cos (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Étape 6.2.5

Annulez le facteur commun à $\sin (x)$ et $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 6.2.5.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (2 x^{3}) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) ((2 x^{3}) \cos (x))}{x^{3} \sin^{2} (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Étape 6.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.5.2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $x^{3} \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) ((2 x^{3}) \cos (x))}{\sin (x) (x^{3} \sin (x))} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Étape 6.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) ((2 x^{3}) \cos (x))}{\sin (x) (x^{3} \sin (x))} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Étape 6.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 x^{3}) \cos (x)}{x^{3} \sin (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Étape 6.2.6

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 6.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{3} \cos (x)}{x^{3} \sin (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Étape 6.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Étape 6.2.7

Convertissez de $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ à $2 \cot (x)$ .

$2 \cot (x) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Étape 6.2.8

Associez $\sin^{2} (x)$ et $\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ .

$2 \cot (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)} (3 x^{2})$

Étape 6.2.9

Associez $3$ et $\frac{\sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ .

$2 \cot (x) + \frac{3 \sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)} x^{2}$

Étape 6.2.10

Associez $\frac{3 \sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ et $x^{2}$ .

$2 \cot (x) + \frac{3 \sin^{2} (x) x^{2}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$

Étape 6.2.11

Annulez le facteur commun de $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 6.2.11.1

Annulez le facteur commun.

$2 \cot (x) + \frac{3 \sin^{2} (x) x^{2}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$

Étape 6.2.11.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cot (x) + \frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

Étape 6.2.12

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 6.2.12.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2}$ .

$2 \cot (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

Étape 6.2.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.12.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$2 \cot (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Étape 6.2.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cot (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Étape 6.2.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cot (x) + \frac{3}{x}$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3}{x} + 2 \cot (x)$