Algèbre Exemples

$\arctan (\frac{2 x}{1 - x^{2}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = \frac{2 x}{1 - x^{2}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{2 x}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 - x^{2}}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 - x^{2}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{2 x}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 - x^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{1 - x^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - x^{2}}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - x^{2}}])$

Étape 2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - x^{2}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.2

Multipliez $1 - x^{2}$ par $1$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} - x (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.7

Multipliez.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + 1 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.7.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + x (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + 2 x^{1 + 1}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + 2 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 9

Additionnez $- x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 10

Multipliez $\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}}$ par $\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2 (1 + x^{2})}{(1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 x}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{2 (1 + x^{2})}{(1 + \frac{{(2 x)}^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 11.2

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$\frac{2 (1 + x^{2})}{(1 + \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 x^{2}}{(1 + \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 11.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 + 2 x^{2}}{(1 + \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 11.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 + 2 x^{2}}{(1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 11.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 x^{2} + 2}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}})}$

Étape 11.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.7.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}})}$

Étape 11.7.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}})}$

Étape 11.7.3

Appliquez la règle de produit à $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{2 x^{2} + 2}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Étape 11.8

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2$ .

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Étape 11.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Étape 11.8.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (1)}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Étape 11.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Étape 11.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.9.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1^{2} - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Étape 11.9.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{((1 + x) (1 - x))}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Étape 11.9.3

Appliquez la règle de produit à $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Étape 11.9.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} (\frac{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Étape 11.9.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.9.6.1

Réécrivez ${(1 + x)}^{2}$ comme $(1 + x) (1 + x)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + x) (1 + x) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.2

Développez $(1 + x) (1 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.9.6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 (1 + x) + x (1 + x)) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.9.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.9.6.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + x + x + x \cdot x) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + x + x + x^{2}) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.4

Réécrivez ${(1 - x)}^{2}$ comme $(1 - x) (1 - x)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) ((1 - x) (1 - x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.5

Développez $(1 - x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.9.6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 (1 - x) - x (1 - x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.9.6.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.9.6.6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.6.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x \cdot 1 - x (- x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x - x (- x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.6.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.9.6.6.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.6.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x + 1 x^{2}) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.6.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x + x^{2}) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.6.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - 2 x + x^{2}) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.7

Développez $(1 + 2 x + x^{2}) (1 - 2 x + x^{2})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.8

Associez les termes opposés dans $1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + x^{2} x^{2}$ .

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Étape 11.9.6.8.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 x \cdot x^{2}$ et $x^{2} (- 2 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - 2 x^{2} x + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.8.2

Soustrayez $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + 0 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.8.3

Additionnez $1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.9.6.9.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.9.2

Multipliez $- 2 x$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.9.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.9.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.9.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 2 x \cdot x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.9.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.9.6.9.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 2 (x \cdot x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.9.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 2 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.9.7

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.9.8

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + x^{2} + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.9.9

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.9.6.9.9.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + x^{2} + x^{2 + 2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.9.9.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + x^{2} + x^{4} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.10

Associez les termes opposés dans $1 - 2 x + x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + x^{2} + x^{4}$ .

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Étape 11.9.6.10.1

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 + x^{2} + 0 - 4 x^{2} + x^{2} + x^{4} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.10.2

Additionnez $1 + x^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 + x^{2} - 4 x^{2} + x^{2} + x^{4} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.11

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 3 x^{2} + x^{2} + x^{4} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.12

Additionnez $- 3 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x^{2} + x^{4} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.13

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 + x^{4} + 2 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.14

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 1}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.15

Réécrivez $x^{4} + 2 x^{2} + 1$ en forme factorisée.

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Étape 11.9.6.15.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{{(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.15.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{u^{2} + 2 u + 1}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.15.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 11.9.6.15.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{u^{2} + 2 u + 1^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.15.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 11.9.6.15.3.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.15.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{{(u + 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.6.15.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.7

Associez les exposants.

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Étape 11.9.7.1

Associez $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ et ${(1 + x)}^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 + x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Étape 11.9.7.2

Associez $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 + x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ et ${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.8

Réduisez l’expression $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 11.9.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.9

Annulez le facteur commun de ${(1 - x)}^{2}$ .

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Étape 11.9.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

Étape 11.9.9.2

Divisez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.9.10

Réécrivez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ comme $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Étape 11.9.11

Développez $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.9.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)}$

Étape 11.9.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)}$

Étape 11.9.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}$

Étape 11.9.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.9.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.9.12.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.9.12.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}$

Étape 11.9.12.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}$

Étape 11.9.12.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}$

Étape 11.9.12.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1}$

Étape 11.9.12.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1}$

Étape 11.9.12.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{4} + 2 x^{2} + 1}$

Étape 11.9.13

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1}$

Étape 11.9.14

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{u^{2} + 2 u + 1}$

Étape 11.9.15

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 11.9.15.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

Étape 11.9.15.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 11.9.15.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

Étape 11.9.15.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(u + 1)}^{2}}$

Étape 11.9.16

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.10

Annulez le facteur commun à $x^{2} + 1$ et ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Étape 11.10.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $2 (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.10.2.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 2}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Étape 11.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 2}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Étape 11.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x^{2} + 1}$