Algèbre Exemples

$g (T) = t^{3} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t^{3}$ et $g (t) = {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}}$ .

$t^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}}] + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{\frac{7}{2}}$ et $g (t) = t^{4} + 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{4} + 5$ .

$t^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{7}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{7}{2}$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} u^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{4} + 5$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $7$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 7

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Associez $\frac{7}{2}$ et ${(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$t^{3} (\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 7.2

Associez $\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ et $t^{3}$ .

$\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5] + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{4} + 5$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2} (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2} (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 10

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2} (4 t^{3} + 0) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 11

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Additionnez $4 t^{3}$ et $0$ .

$\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2} (4 t^{3}) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 11.2

Associez $4$ et $\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2}$ .

$\frac{4 (7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3})}{2} t^{3} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 11.3

Multipliez $7$ par $4$ .

$\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3})}{2} t^{3} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 11.4

Associez $\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3})}{2}$ et $t^{3}$ .

$\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}) t^{3}}{2} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 12

Multipliez $t^{3}$ par $t^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Déplacez $t^{3}$ .

$\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} (t^{3} t^{3}))}{2} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3 + 3})}{2} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 12.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6})}{2} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 13

Factorisez $2$ à partir de $28 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6}$ .

$\frac{2 (14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6})}{2} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 14

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6})}{2 (1)} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6})}{2 \cdot 1} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6}}{1} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 14.4

Divisez $14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6}$ par $1$ .

$14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} (3 t^{2})$

Étape 16

Remettez dans l’ordre.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Déplacez $3$ à gauche de ${(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}}$ .

$14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6} + 3 \cdot {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} t^{2}$

Étape 16.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$14 t^{6} {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} + 3 t^{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}}$