Algèbre Exemples

$f (x) = \ln (| \ln (11 x) |)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = | \ln (11 x) |$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $| \ln (11 x) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \ln (11 x) |]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \ln (11 x) |]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $| \ln (11 x) |$ .

$\frac{1}{| \ln (11 x) |} \frac{d}{d x} [| \ln (11 x) |]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = \ln (11 x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\ln (11 x)$ .

$\frac{1}{| \ln (11 x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\ln (11 x)])$

Étape 2.2

La dérivée de $| u_{2} |$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \ln (11 x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\ln (11 x)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (11 x)$ .

$\frac{1}{| \ln (11 x) |} (\frac{\ln (11 x)}{| \ln (11 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (11 x)])$

Étape 3

Multipliez $\frac{\ln (11 x)}{| \ln (11 x) |}$ par $\frac{1}{| \ln (11 x) |}$ .

$\frac{\ln (11 x)}{| \ln (11 x) | | \ln (11 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (11 x)]$

Étape 4

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\frac{\ln (11 x)}{| \ln (11 x) \ln (11 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (11 x)]$

Étape 5

Élevez $\ln (11 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (11 x)}{| \ln^{1} (11 x) \ln (11 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (11 x)]$

Étape 6

Élevez $\ln (11 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (11 x)}{| \ln^{1} (11 x) \ln^{1} (11 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (11 x)]$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\ln (11 x)}{| {\ln (11 x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\ln (11 x)]$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\ln (11 x)}{| \ln^{2} (11 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (11 x)]$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 11 x$ .

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Étape 9.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $11 x$ .

$\frac{\ln (11 x)}{| \ln^{2} (11 x) |} (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [11 x])$

Étape 9.2

La dérivée de $\ln (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{1}{u_{3}}$ .

$\frac{\ln (11 x)}{| \ln^{2} (11 x) |} (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [11 x])$

Étape 9.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $11 x$ .

$\frac{\ln (11 x)}{| \ln^{2} (11 x) |} (\frac{1}{11 x} \frac{d}{d x} [11 x])$

Étape 10

Différenciez.

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{1}{11 x}$ par $\frac{\ln (11 x)}{| \ln^{2} (11 x) |}$ .

$\frac{\ln (11 x)}{11 x | \ln^{2} (11 x) |} \frac{d}{d x} [11 x]$

Étape 10.2

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 x$ par rapport à $x$ est $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (11 x)}{11 x | \ln^{2} (11 x) |} (11 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 10.3

Simplifiez les termes.

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Étape 10.3.1

Associez $11$ et $\frac{\ln (11 x)}{11 x | \ln^{2} (11 x) |}$ .

$\frac{11 \ln (11 x)}{11 x | \ln^{2} (11 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 10.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 \ln (11 x)}{11 x | \ln^{2} (11 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (11 x)}{x | \ln^{2} (11 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\ln (11 x)}{x | \ln^{2} (11 x) |} \cdot 1$

Étape 10.5

Multipliez $\frac{\ln (11 x)}{x | \ln^{2} (11 x) |}$ par $1$ .

$\frac{\ln (11 x)}{x | \ln^{2} (11 x) |}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$\frac{\ln (11 x)}{x \ln^{2} (11 x)}$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun à $\ln (11 x)$ et $\ln^{2} (11 x)$ .

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Étape 11.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\ln (11 x) \cdot 1}{x \ln^{2} (11 x)}$

Étape 11.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.1

Factorisez $\ln (11 x)$ à partir de $x \ln^{2} (11 x)$ .

$\frac{\ln (11 x) \cdot 1}{\ln (11 x) (x \ln (11 x))}$

Étape 11.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (11 x) \cdot 1}{\ln (11 x) (x \ln (11 x))}$

Étape 11.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x \ln (11 x)}$