Algèbre Exemples

$4 \tan^{-1} (e^{u} + \sin (v))$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $4 \tan^{-1} (e^{u} + \sin (v))$ par rapport à $v$ est $4 \frac{d}{d v} [\tan^{-1} (e^{u} + \sin (v))]$ .

$4 \frac{d}{d v} [\tan^{-1} (e^{u} + \sin (v))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ est $f' (g (v)) g' (v)$ où $f (v) = \tan^{-1} (v)$ et $g (v) = e^{u} + \sin (v)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $e^{u} + \sin (v)$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [\tan^{-1} (u_{1})] \frac{d}{d v} [e^{u} + \sin (v)])$

Étape 2.2

La dérivée de $\tan^{-1} (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$4 (\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d v} [e^{u} + \sin (v)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $e^{u} + \sin (v)$ .

$4 (\frac{1}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} \frac{d}{d v} [e^{u} + \sin (v)])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}}$ et $4$ .

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} \frac{d}{d v} [e^{u} + \sin (v)]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{u} + \sin (v)$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [e^{u}] + \frac{d}{d v} [\sin (v)]$ .

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} (\frac{d}{d v} [e^{u}] + \frac{d}{d v} [\sin (v)])$

Étape 3.3

Comme $e^{u}$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $e^{u}$ par rapport à $v$ est $0$ .

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} (0 + \frac{d}{d v} [\sin (v)])$

Étape 3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d v} [\sin (v)]$ .

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} \frac{d}{d v} [\sin (v)]$

Étape 4

La dérivée de $\sin (v)$ par rapport à $v$ est $\cos (v)$ .

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} \cos (v)$

Étape 5

Associez les fractions.

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Étape 5.1

Associez $\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}}$ et $\cos (v)$ .

$\frac{4 \cos (v)}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 \cos (v)}{{(e^{u} + \sin (v))}^{2} + 1}$