Algèbre Exemples

$z = \sqrt{9 x y}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{d}{d y} [\sqrt{9 x y}]$ comme $\frac{d}{d y} [3 \sqrt{x y}]$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $9 x y$ comme $3^{2} (x y)$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\sqrt{3^{2} x y}]$

Étape 1.1.2

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{d}{d y} [\sqrt{3^{2} (x y)}]$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d y} [3 \sqrt{x y}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x y}$ comme ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [3 {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ et $g (y) = x y$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x y])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x y])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x y])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x y])$

Étape 8.3

Placez ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x y])$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ et $3$ .

$\frac{3}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 9

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{3}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d y} [y])$

Étape 10

Associez les fractions.

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Étape 10.1

Associez $x$ et $\frac{3}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x \cdot 3}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 10.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{3 \cdot x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 12

Multipliez $\frac{3 x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{3 x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Appliquez la règle de produit à $x y$ .

$\frac{3 x}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}$

Étape 13.2

Associez des termes.

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Étape 13.2.1

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.2.2

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.2.2.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.2.2.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 13.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.2.2.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$