Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{9}}$ $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[9]{x^{8}}}{x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{x^{9}}$ comme une équation.

$y = \frac{1}{x^{9}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{y^{9}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{y^{9}} = x$ .

$\frac{1}{y^{9}} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y^{9}, 1$

Étape 3.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y^{9}$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{y^{9}} = x$ par $y^{9}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{y^{9}} = x$ par $y^{9}$ .

$\frac{1}{y^{9}} y^{9} = x y^{9}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{9}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{9}} y^{9} = x y^{9}$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = x y^{9}$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $x y^{9} = 1$ .

$x y^{9} = 1$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $x y^{9} = 1$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $x y^{9} = 1$ par $x$ .

$\frac{x y^{9}}{x} = \frac{1}{x}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y^{9}}{x} = \frac{1}{x}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y^{9}$ par $1$ .

$y^{9} = \frac{1}{x}$

Étape 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[9]{\frac{1}{x}}$

Étape 3.4.4

Simplifiez $\sqrt[9]{\frac{1}{x}}$ .

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Étape 3.4.4.1

Réécrivez $\sqrt[9]{\frac{1}{x}}$ comme $\frac{\sqrt[9]{1}}{\sqrt[9]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[9]{1}}{\sqrt[9]{x}}$

Étape 3.4.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[9]{x}}$

Étape 3.4.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[9]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{{\sqrt[9]{x}}^{8}}$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[9]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{{\sqrt[9]{x}}^{8}}$

Étape 3.4.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[9]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{{\sqrt[9]{x}}^{8}}$ .

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{\sqrt[9]{x} {\sqrt[9]{x}}^{8}}$

Étape 3.4.4.4.2

Élevez $\sqrt[9]{x}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{{\sqrt[9]{x}}^{1} {\sqrt[9]{x}}^{8}}$

Étape 3.4.4.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{{\sqrt[9]{x}}^{1 + 8}}$

Étape 3.4.4.4.4

Additionnez $1$ et $8$ .

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{{\sqrt[9]{x}}^{9}}$

Étape 3.4.4.4.5

Réécrivez ${\sqrt[9]{x}}^{9}$ comme $x$ .

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Étape 3.4.4.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[9]{x}$ comme $x^{\frac{1}{9}}$ .

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{{(x^{\frac{1}{9}})}^{9}}$

Étape 3.4.4.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{x^{\frac{1}{9} \cdot 9}}$

Étape 3.4.4.4.5.3

Associez $\frac{1}{9}$ et $9$ .

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{x^{\frac{9}{9}}}$

Étape 3.4.4.4.5.4

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.4.4.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{x^{\frac{9}{9}}}$

Étape 3.4.4.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{x^{1}}$

Étape 3.4.4.4.5.5

Simplifiez

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{x}$

Étape 3.4.4.5

Réécrivez ${\sqrt[9]{x}}^{8}$ comme $\sqrt[9]{x^{8}}$ .

$y = \frac{\sqrt[9]{x^{8}}}{x}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[9]{x^{8}}}{x}$

Étape 5

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 6

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \frac{\sqrt[9]{{(\frac{1}{x^{9}})}^{8}}}{\frac{1}{x^{9}}}$

Étape 7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{{(\frac{1}{x^{9}})}^{8}} x^{9}$

Étape 8

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x^{9}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{\frac{1^{8}}{{(x^{9})}^{8}}} x^{9}$

Étape 9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{\frac{1}{{(x^{9})}^{8}}} x^{9}$

Étape 10

Multipliez les exposants dans ${(x^{9})}^{8}$ .

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Étape 10.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{\frac{1}{x^{9 \cdot 8}}} x^{9}$

Étape 10.2

Multipliez $9$ par $8$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{\frac{1}{x^{72}}} x^{9}$

Étape 11

Réécrivez $1$ comme $1^{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{\frac{1^{9}}{x^{72}}} x^{9}$

Étape 12

Réécrivez $x^{72}$ comme ${(x^{8})}^{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{\frac{1^{9}}{{(x^{8})}^{9}}} x^{9}$

Étape 13

Réécrivez $\frac{1^{9}}{{(x^{8})}^{9}}$ comme ${(\frac{1}{x^{8}})}^{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{{(\frac{1}{x^{8}})}^{9}} x^{9}$

Étape 14

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \frac{1}{x^{8}} \cdot x^{9}$

Étape 15

Annulez le facteur commun de $x^{8}$ .

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Étape 15.1

Factorisez $x^{8}$ à partir de $x^{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \frac{1}{x^{8}} \cdot (x^{8} x)$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \frac{1}{x^{8}} \cdot (x^{8} x)$

Étape 15.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = x$