Algèbre Exemples

$2 y = x^{2} + 2 x$ , $y = 4 x - 23$

Étape 1

Indiquez chaque équation de plane en forme normalisée.

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Étape 1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 y - x^{2} = 2 x, y = 4 x - 23$

Étape 1.1.2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y - x^{2} - 2 x = 0, y = 4 x - 23$

Étape 1.2

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y - x^{2} - 2 x = 0, y - 4 x = - 23$

Étape 2

Pour déterminer l’intersection de la droite passant par un point $(p, q, r)$ perpendiculaire au plan $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ et au plan $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Déterminez les vecteurs normaux du plan $P_{1}$ et du plan $P_{2}$ lorsque les vecteurs normaux sont $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ et $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Vérifiez si le produit scalaire est 0.

2. Créez un ensemble d’équations paramétriques de sorte que $x = p + a t$ , $y = q + b t$ et $z = r + c t$ .

3. Remplacez ces équations par l’équation pour le plan $P_{2}$ de sorte que $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ et résolvez pour $t$ .

4. Utilisez la valeur de $t$ pour résoudre les équations paramétriques $x = p + a t$ , $y = q + b t$ et $z = r + c t$ pour $t$ afin de déterminer l’intersection $(x, y, z)$ .

Étape 3

Déterminez les vecteurs normaux pour chaque plan et déterminez s’ils sont perpendiculaires en calculant le produit scalaire.

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Étape 3.1

$P_{1}$ est $2 y - x^{2} - 2 x = 0$ . Déterminez le vecteur normal $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ à partir de l’équation de plan de la forme $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ - 2, 2, 0 ⟩$

Étape 3.2

$P_{2}$ est $y - 4 x = - 23$ . Déterminez le vecteur normal $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ à partir de l’équation de plan de la forme $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ - 4, 1, 0 ⟩$

Étape 3.3

Calculez le produit scalaire de $n_{1}$ et $n_{2}$ en additionnant les produits des valeurs $x$ , $y$ et $z$ correspondantes dans les vecteurs normaux.

$- 2 \cdot - 4 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0$

Étape 3.4

Simplifiez le produit scalaire.

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Étape 3.4.1

Supprimez les parenthèses.

$- 2 \cdot - 4 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0$

Étape 3.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$8 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$8 + 2 + 0 \cdot 0$

Étape 3.4.2.3

Multipliez $0$ par $0$ .

$8 + 2 + 0$

Étape 3.4.3

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.4.3.1

Additionnez $8$ et $2$ .

$10 + 0$

Étape 3.4.3.2

Additionnez $10$ et $0$ .

$10$

Étape 4

Ensuite, créez un ensemble d’équations paramétriques $x = p + a t$ , $y = q + b t$ et $z = r + c t$ en utilisant l’origine $(0, 0, 0)$ pour le point $(p, q, r)$ et les valeurs du vecteur normal $10$ pour les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ . Cet ensemble d’équations paramétriques représente la droite passant par l’origine qui est perpendiculaire à $P_{1}$ $2 y - x^{2} - 2 x = 0$ .

$x = 0 + - 2 \cdot t$

$y = 0 + 2 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Étape 5

Remplacez l’expression pour $x$ , $y$ et $z$ dans l’équation pour $P_{2}$ $y - 4 x = - 23$ .

$(0 + 2 \cdot t) - 4 (0 - 2 \cdot t) = - 23$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $t$ .

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Étape 6.1

Simplifiez $(0 + 2 \cdot t) - 4 (0 - 2 \cdot t)$ .

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Étape 6.1.1

Associez les termes opposés dans $(0 + 2 \cdot t) - 4 (0 - 2 \cdot t)$ .

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Étape 6.1.1.1

Additionnez $0$ et $2 \cdot t$ .

$2 \cdot t - 4 (0 - 2 \cdot t) = - 23$

Étape 6.1.1.2

Soustrayez $2 \cdot t$ de $0$ .

$2 \cdot t - 4 (- 2 \cdot t) = - 23$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$2 t + 8 t = - 23$

Étape 6.1.3

Additionnez $2 t$ et $8 t$ .

$10 t = - 23$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $10 t = - 23$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $10 t = - 23$ par $10$ .

$\frac{10 t}{10} = \frac{- 23}{10}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 t}{10} = \frac{- 23}{10}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{- 23}{10}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - \frac{23}{10}$

Étape 7

Résolvez les équations paramétriques pour $x$ , $y$ et $z$ en utilisant la valeur de $t$ .

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Étape 7.1

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 7.1.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 0 - 2 \cdot (- 1 (\frac{23}{10}))$

Étape 7.1.2

Supprimez les parenthèses.

$x = 0 - 2 \cdot (- \frac{23}{10})$

Étape 7.1.3

Simplifiez $0 - 2 \cdot (- \frac{23}{10})$ .

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Étape 7.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.3.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{23}{10}$ dans le numérateur.

$x = 0 - 2 \cdot \frac{- 23}{10}$

Étape 7.1.3.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$x = 0 + 2 (- 1) \cdot \frac{- 23}{10}$

Étape 7.1.3.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$x = 0 + 2 \cdot - 1 \cdot \frac{- 23}{2 \cdot 5}$

Étape 7.1.3.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$x = 0 + 2 \cdot - 1 \cdot \frac{- 23}{2 \cdot 5}$

Étape 7.1.3.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$x = 0 - 1 \cdot \frac{- 23}{5}$

Étape 7.1.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = 0 - 1 \cdot (- \frac{23}{5})$

Étape 7.1.3.1.3

Multipliez $- 1 (- \frac{23}{5})$ .

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Étape 7.1.3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 0 + 1 (\frac{23}{5})$

Étape 7.1.3.1.3.2

Multipliez $\frac{23}{5}$ par $1$ .

$x = 0 + \frac{23}{5}$

Étape 7.1.3.2

Additionnez $0$ et $\frac{23}{5}$ .

$x = \frac{23}{5}$

Étape 7.2

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 7.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0 + 2 \cdot (- 1 (\frac{23}{10}))$

Étape 7.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0 + 2 \cdot (- \frac{23}{10})$

Étape 7.2.3

Simplifiez $0 + 2 \cdot (- \frac{23}{10})$ .

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{23}{10}$ dans le numérateur.

$y = 0 + 2 \cdot \frac{- 23}{10}$

Étape 7.2.3.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$y = 0 + 2 \cdot \frac{- 23}{2 (5)}$

Étape 7.2.3.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$y = 0 + 2 \cdot \frac{- 23}{2 \cdot 5}$

Étape 7.2.3.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$y = 0 + \frac{- 23}{5}$

Étape 7.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = 0 - \frac{23}{5}$

Étape 7.2.3.2

Soustrayez $\frac{23}{5}$ de $0$ .

$y = - \frac{23}{5}$

Étape 7.3

Résolvez l’équation pour $z$ .

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Étape 7.3.1

Supprimez les parenthèses.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{23}{10}))$

Étape 7.3.2

Supprimez les parenthèses.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{23}{10})$

Étape 7.3.3

Simplifiez $0 + 0 \cdot (- \frac{23}{10})$ .

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Étape 7.3.3.1

Multipliez $0 (- \frac{23}{10})$ .

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Étape 7.3.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{23}{10})$

Étape 7.3.3.1.2

Multipliez $0$ par $\frac{23}{10}$ .

$z = 0 + 0$

Étape 7.3.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$z = 0$

Étape 7.4

Les équations paramétriques résolues pour $x$ , $y$ et $z$ .

$x = \frac{23}{5}$

$y = - \frac{23}{5}$

$z = 0$

$x = \frac{23}{5}$

$y = - \frac{23}{5}$

$z = 0$

Étape 8

En utilisant les valeurs calculées pour $x$ , $y$ et $z$ , le point d’intersection est $(\frac{23}{5}, - \frac{23}{5}, 0)$ .

$(\frac{23}{5}, - \frac{23}{5}, 0)$