Algèbre Exemples

$\frac{x}{x + 4} = \frac{1}{x + 1} - \frac{3 x}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{1}{x + 1}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{x + 1} = - \frac{3 x}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 1.2

Ajoutez $\frac{3 x}{x^{2} + 5 x + 4}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{x + 1} + \frac{3 x}{x^{2} + 5 x + 4} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{x + 1} + \frac{3 x}{x^{2} + 5 x + 4}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2} + 5 x + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $5$ .

$1, 4$

Étape 2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{x + 1} + \frac{3 x}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{x}{x + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{3 x}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{1}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{3 x}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 4) (x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{x}{x + 4}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 4) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{3 x}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 4) (x + 1)} - \frac{x + 4}{(x + 1) (x + 4)} + \frac{3 x}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 4) (x + 1)$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x + 4)} - \frac{x + 4}{(x + 1) (x + 4)} + \frac{3 x}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x + 1) - (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} + \frac{3 x}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x + 1) - (x + 4) + 3 x}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - (x + 4) + 3 x}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 - (x + 4) + 3 x}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.7.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x - (x + 4) + 3 x}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + x - x - 1 \cdot 4 + 3 x}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.7.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{x^{2} + x - x - 4 + 3 x}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.8

Associez les termes opposés dans $x^{2} + x - x - 4 + 3 x$ .

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Étape 2.8.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 4 + 3 x}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.8.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 4 + 3 x}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9

Factorisez $x^{2} - 4 + 3 x$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $3$ .

$- 1, 4$

Étape 2.9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.10

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 2.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 1}{x + 1} = 0$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 1}{x + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 1 = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5