Algèbre Exemples

$h (x) = \frac{8}{\sqrt{8 x + 10}}$

Étape 1

Factorisez $2$ à partir de $8 x + 10$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$h (x) = \frac{8}{\sqrt{2 (4 x) + 10}}$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$h (x) = \frac{8}{\sqrt{2 (4 x) + 2 (5)}}$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 x) + 2 (5)$ .

$h (x) = \frac{8}{\sqrt{2 (4 x + 5)}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{8}{\sqrt{2 (4 x + 5)}}$ par $\frac{\sqrt{2 (4 x + 5)}}{\sqrt{2 (4 x + 5)}}$ .

$h (x) = \frac{8}{\sqrt{2 (4 x + 5)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (4 x + 5)}}{\sqrt{2 (4 x + 5)}}$

Étape 3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{8}{\sqrt{2 (4 x + 5)}}$ par $\frac{\sqrt{2 (4 x + 5)}}{\sqrt{2 (4 x + 5)}}$ .

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{\sqrt{2 (4 x + 5)} \sqrt{2 (4 x + 5)}}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{2 (4 x + 5)}$ à la puissance $1$ .

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{\sqrt{2 (4 x + 5)} \sqrt{2 (4 x + 5)}}$

Étape 3.3

Élevez $\sqrt{2 (4 x + 5)}$ à la puissance $1$ .

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{\sqrt{2 (4 x + 5)} \sqrt{2 (4 x + 5)}}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{{\sqrt{2 (4 x + 5)}}^{1 + 1}}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{{\sqrt{2 (4 x + 5)}}^{2}}$

Étape 3.6

Réécrivez ${\sqrt{2 (4 x + 5)}}^{2}$ comme $2 (4 x + 5)$ .

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Étape 3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 (4 x + 5)}$ comme ${(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2}}$ .

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{{({(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{2 (4 x + 5)}$

Étape 3.6.5

Simplifiez

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{2 (4 x + 5)}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $8 \sqrt{2 (4 x + 5)}$ .

$h (x) = \frac{2 (4 \sqrt{2 (4 x + 5)})}{2 (4 x + 5)}$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$h (x) = \frac{2 (4 \sqrt{2 (4 x + 5)})}{2 (4 x + 5)}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$h (x) = \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{4 x + 5}$

Étape 5

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 6

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 6.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$h (x + h) = \frac{4 \sqrt{2 (4 (x + h) + 5)}}{4 (x + h) + 5}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$h (x + h) = \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 (x + h) + 5}$

Étape 6.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$h (x + h) = \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 x + 4 h + 5}$

Étape 6.1.2.3

La réponse finale est $\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 x + 4 h + 5}$ .

$\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 x + 4 h + 5}$

Étape 6.2

Déterminez les composants de la définition.

$h (x + h) = \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 x + 4 h + 5}$

$h (x) = \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{4 x + 5}$

$h (x + h) = \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 x + 4 h + 5}$

$h (x) = \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{4 x + 5}$

Étape 7

Insérez les composants.

$\frac{h (x + h) - h x}{h} = \frac{\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 x + 4 h + 5} - (\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{4 x + 5})}{h}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Pour écrire $\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 x + 4 h + 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 x + 5}{4 x + 5}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 x + 4 h + 5} \cdot \frac{4 x + 5}{4 x + 5} - \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{4 x + 5}}{h}$

Étape 8.1.2

Pour écrire $- \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{4 x + 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 x + 4 h + 5}{4 x + 4 h + 5}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 x + 4 h + 5} \cdot \frac{4 x + 5}{4 x + 5} - \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{4 x + 5} \cdot \frac{4 x + 4 h + 5}{4 x + 4 h + 5}}{h}$

Étape 8.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.1.3.1

Multipliez $\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 x + 4 h + 5}$ par $\frac{4 x + 5}{4 x + 5}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5)}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)} - \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{4 x + 5} \cdot \frac{4 x + 4 h + 5}{4 x + 4 h + 5}}{h}$

Étape 8.1.3.2

Multipliez $\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{4 x + 5}$ par $\frac{4 x + 4 h + 5}{4 x + 4 h + 5}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5)}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)} - \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5)}{(4 x + 5) (4 x + 4 h + 5)}}{h}$

Étape 8.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(4 x + 5) (4 x + 4 h + 5)$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5)}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)} - \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5)}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Étape 8.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5) - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5)}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Étape 8.1.5

Réécrivez $\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5) - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5)}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}$ en forme factorisée.

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Étape 8.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5) - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5)$ .

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Étape 8.1.5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5)$ .

$\frac{\frac{4 (\sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5)) - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5)}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Étape 8.1.5.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5)$ .

$\frac{\frac{4 (\sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5)) + 4 (- \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5))}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Étape 8.1.5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (\sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5)) + 4 (- \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5))$ .

$\frac{\frac{4 (\sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5) - \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5))}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Étape 8.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{4 (\sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x) + \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} \cdot 5 - \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5))}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Étape 8.1.5.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} \cdot 5 - \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5))}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Étape 8.1.5.4

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}$ .

$\frac{\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + 5 \cdot \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} - \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5))}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Étape 8.1.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + 5 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} - \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x) - \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 h) - \sqrt{2 (4 x + 5)} \cdot 5)}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Étape 8.1.5.6

Simplifiez

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Étape 8.1.5.6.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + 5 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} x - \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 h) - \sqrt{2 (4 x + 5)} \cdot 5)}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Étape 8.1.5.6.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + 5 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} x - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} h - \sqrt{2 (4 x + 5)} \cdot 5)}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Étape 8.1.5.6.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + 5 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} x - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} h - 5 \sqrt{2 (4 x + 5)})}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Étape 8.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + 5 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} x - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} h - 5 \sqrt{2 (4 x + 5)})}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 8.3

Multipliez $\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + 5 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} x - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} h - 5 \sqrt{2 (4 x + 5)})}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}$ par $\frac{1}{h}$ .

$\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + 5 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} x - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} h - 5 \sqrt{2 (4 x + 5)})}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5) h}$

Étape 8.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + 5 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} x - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} h - 5 \sqrt{2 (4 x + 5)})}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5) h}$ .

$\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + 5 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} x - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} h - 5 \sqrt{2 (4 x + 5)})}{h (4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}$

Étape 9