Algèbre Exemples

$\sqrt{5}$ , $- 1 + i$

Étape 1

Les racines sont les points où le graphe croise l’axe des x $(y = 0)$ .

$y = 0$ aux racines

Étape 2

La racine sur $x = \sqrt{5}$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (\sqrt{5}) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - \sqrt{5}$

Étape 3

La racine sur $x = - 1 + i$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (- 1 + i) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x + 1 - i$

Étape 4

La racine sur $x = - 1 - i$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (- 1 - i) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x + 1 + i$

Étape 5

Associez tous les facteurs en une équation unique.

$y = (x - \sqrt{5}) (x + 1 - i) (x + 1 + i)$

Étape 6

Multipliez tous les facteurs pour simplifier l’équation $y = (x - \sqrt{5}) (x + 1 - i) (x + 1 + i)$ .

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Étape 6.1

Développez $(x - \sqrt{5}) (x + 1 - i)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y = (x \cdot x + x \cdot 1 + x (- i) - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- i)) (x + 1 + i)$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = (x^{2} + x \cdot 1 + x (- i) - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- i)) (x + 1 + i)$

Étape 6.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = (x^{2} + x + x (- i) - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- i)) (x + 1 + i)$

Étape 6.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = (x^{2} + x + x (- i) - \sqrt{5} x - \sqrt{5} - \sqrt{5} (- i)) (x + 1 + i)$

Étape 6.2.4

Multipliez $- \sqrt{5} (- i)$ .

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Étape 6.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = (x^{2} + x + x (- i) - \sqrt{5} x - \sqrt{5} + 1 \sqrt{5} i) (x + 1 + i)$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $\sqrt{5}$ par $1$ .

$y = (x^{2} + x + x (- i) - \sqrt{5} x - \sqrt{5} + \sqrt{5} i) (x + 1 + i)$

Étape 6.3

Développez $(x^{2} + x + x (- i) - \sqrt{5} x - \sqrt{5} + \sqrt{5} i) (x + 1 + i)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y = x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} i + x \cdot x + x \cdot 1 + x i + x (- i) x + x (- i) \cdot 1 + x (- i) i - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x i - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} i + \sqrt{5} i x + \sqrt{5} i \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4

Simplifiez les termes.

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Étape 6.4.1

Associez les termes opposés dans $x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} i + x \cdot x + x \cdot 1 + x i + x (- i) x + x (- i) \cdot 1 + x (- i) i - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x i - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} i + \sqrt{5} i x + \sqrt{5} i \cdot 1 + \sqrt{5} i i$ .

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Étape 6.4.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $- \sqrt{5} x i$ et $\sqrt{5} i x$ .

$y = x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} i + x \cdot x + x \cdot 1 + x i + x (- i) x + x (- i) \cdot 1 + x (- i) i - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - i x \sqrt{5} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} i + i x \sqrt{5} + \sqrt{5} i \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.1.2

Additionnez $- i x \sqrt{5}$ et $i x \sqrt{5}$ .

$y = x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} i + x \cdot x + x \cdot 1 + x i + x (- i) x + x (- i) \cdot 1 + x (- i) i - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} i + 0 + \sqrt{5} i \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.1.3

Additionnez $x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} i + x \cdot x + x \cdot 1 + x i + x (- i) x + x (- i) \cdot 1 + x (- i) i - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} i$ et $0$ .

$y = x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} i + x \cdot x + x \cdot 1 + x i + x (- i) x + x (- i) \cdot 1 + x (- i) i - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} i + \sqrt{5} i \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.1.4

Réorganisez les facteurs dans les termes $- \sqrt{5} i$ et $\sqrt{5} i \cdot 1$ .

$y = x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} i + x \cdot x + x \cdot 1 + x i + x (- i) x + x (- i) \cdot 1 + x (- i) i - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 - i \sqrt{5} + 1 i \sqrt{5} + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.1.5

Additionnez $- i \sqrt{5}$ et $1 i \sqrt{5}$ .

$y = x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} i + x \cdot x + x \cdot 1 + x i + x (- i) x + x (- i) \cdot 1 + x (- i) i - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 + 0 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.1.6

Additionnez $x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} i + x \cdot x + x \cdot 1 + x i + x (- i) x + x (- i) \cdot 1 + x (- i) i - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1$ et $0$ .

$y = x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} i + x \cdot x + x \cdot 1 + x i + x (- i) x + x (- i) \cdot 1 + x (- i) i - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.2.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.4.2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 6.4.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} i + x \cdot x + x \cdot 1 + x i + x (- i) x + x (- i) \cdot 1 + x (- i) i - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.2.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} i + x \cdot x + x \cdot 1 + x i + x (- i) x + x (- i) \cdot 1 + x (- i) i - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x \cdot x + x \cdot 1 + x i + x (- i) x + x (- i) \cdot 1 + x (- i) i - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.2.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x \cdot 1 + x i + x (- i) x + x (- i) \cdot 1 + x (- i) i - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.2.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x (- i) x + x (- i) \cdot 1 + x (- i) i - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.2.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.2.5.1

Déplacez $x$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x \cdot x (- i) + x (- i) \cdot 1 + x (- i) i - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.2.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x^{2} (- i) + x (- i) \cdot 1 + x (- i) i - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.2.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x^{2} (- i) + x (- i) + x (- i) i - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.2.7

Multipliez $x (- i) i$ .

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Étape 6.4.2.7.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x^{2} (- i) + x (- i) + x (- (i i)) - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.2.7.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x^{2} (- i) + x (- i) + x (- (i i)) - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.2.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x^{2} (- i) + x (- i) + x (- i^{1 + 1}) - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.2.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x^{2} (- i) + x (- i) + x (- i^{2}) - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.2.8

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x^{2} (- i) + x (- i) + x (1) - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.2.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x^{2} (- i) + x (- i) + x \cdot 1 - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.2.10

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x^{2} (- i) + x (- i) + x - \sqrt{5} x \cdot x - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.2.11

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.2.11.1

Déplacez $x$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x^{2} (- i) + x (- i) + x - \sqrt{5} (x \cdot x) - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.2.11.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x^{2} (- i) + x (- i) + x - \sqrt{5} x^{2} - \sqrt{5} x \cdot 1 - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.2.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x^{2} (- i) + x (- i) + x - \sqrt{5} x^{2} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.2.13

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x^{2} (- i) + x (- i) + x - \sqrt{5} x^{2} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} x - \sqrt{5} + \sqrt{5} i i$

Étape 6.4.2.14

Multipliez $\sqrt{5} i i$ .

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Étape 6.4.2.14.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x^{2} (- i) + x (- i) + x - \sqrt{5} x^{2} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} x - \sqrt{5} + \sqrt{5} (i i)$

Étape 6.4.2.14.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x^{2} (- i) + x (- i) + x - \sqrt{5} x^{2} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} x - \sqrt{5} + \sqrt{5} (i i)$

Étape 6.4.2.14.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x^{2} (- i) + x (- i) + x - \sqrt{5} x^{2} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} x - \sqrt{5} + \sqrt{5} i^{1 + 1}$

Étape 6.4.2.14.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x^{2} (- i) + x (- i) + x - \sqrt{5} x^{2} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} x - \sqrt{5} + \sqrt{5} i^{2}$

Étape 6.4.2.15

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x^{2} (- i) + x (- i) + x - \sqrt{5} x^{2} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} x - \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot - 1$

Étape 6.4.2.16

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sqrt{5}$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x^{2} (- i) + x (- i) + x - \sqrt{5} x^{2} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} x - \sqrt{5} - 1 \cdot \sqrt{5}$

Étape 6.4.2.17

Réécrivez $- 1 \sqrt{5}$ comme $- \sqrt{5}$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x^{2} (- i) + x (- i) + x - \sqrt{5} x^{2} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} x - \sqrt{5} - \sqrt{5}$

Étape 6.4.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 6.4.3.1

Associez les termes opposés dans $x^{3} + x^{2} + x^{2} i + x^{2} + x + x i + x^{2} (- i) + x (- i) + x - \sqrt{5} x^{2} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} x - \sqrt{5} - \sqrt{5}$ .

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Étape 6.4.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x^{2} i$ et $x^{2} (- i)$ .

$y = x^{3} + x^{2} + i x^{2} + x^{2} + x + x i - i x^{2} + x (- i) + x - \sqrt{5} x^{2} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} x - \sqrt{5} - \sqrt{5}$

Étape 6.4.3.1.2

Soustrayez $i x^{2}$ de $i x^{2}$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} + x + x i + 0 + x (- i) + x - \sqrt{5} x^{2} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} x - \sqrt{5} - \sqrt{5}$

Étape 6.4.3.1.3

Additionnez $x^{3} + x^{2} + x^{2} + x + x i$ et $0$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} + x + x i + x (- i) + x - \sqrt{5} x^{2} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} x - \sqrt{5} - \sqrt{5}$

Étape 6.4.3.1.4

Réorganisez les facteurs dans les termes $x i$ et $x (- i)$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} + x + i x - i x + x - \sqrt{5} x^{2} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} x - \sqrt{5} - \sqrt{5}$

Étape 6.4.3.1.5

Soustrayez $i x$ de $i x$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} + x + 0 + x - \sqrt{5} x^{2} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} x - \sqrt{5} - \sqrt{5}$

Étape 6.4.3.1.6

Additionnez $x^{3} + x^{2} + x^{2} + x$ et $0$ .

$y = x^{3} + x^{2} + x^{2} + x + x - \sqrt{5} x^{2} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} x - \sqrt{5} - \sqrt{5}$

Étape 6.4.3.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} + x + x - \sqrt{5} x^{2} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} x - \sqrt{5} - \sqrt{5}$

Étape 6.4.3.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - \sqrt{5} x^{2} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} x - \sqrt{5} - \sqrt{5}$

Étape 6.4.3.4

Soustrayez $\sqrt{5} x$ de $- \sqrt{5} x$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - \sqrt{5} x^{2} - 2 \sqrt{5} x - \sqrt{5} - \sqrt{5}$

Étape 6.4.3.5

Soustrayez $\sqrt{5}$ de $- \sqrt{5}$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - \sqrt{5} x^{2} - 2 \sqrt{5} x - 2 \sqrt{5}$

Étape 6.4.3.6

Déplacez $2 x$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} - \sqrt{5} x^{2} + 2 x - 2 \sqrt{5} x - 2 \sqrt{5}$

Étape 7