Algèbre Exemples

$\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{7}$

Étape 1

Les racines sont les points où le graphe croise l’axe des x $(y = 0)$ .

$y = 0$ aux racines

Étape 2

La racine sur $x = \frac{1}{2}$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (\frac{1}{2}) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - \frac{1}{2}$

Étape 3

La racine sur $x = \frac{1}{3}$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (\frac{1}{3}) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - \frac{1}{3}$

Étape 4

La racine sur $x = \frac{1}{7}$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (\frac{1}{7}) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - \frac{1}{7}$

Étape 5

Associez tous les facteurs en une équation unique.

$y = (x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{7})$

Étape 6

Multipliez tous les facteurs pour simplifier l’équation $y = (x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{7})$ .

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Étape 6.1

Développez $(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x (x - \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = (x^{2} + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.2.1.2

Associez $x$ et $\frac{1}{3}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{3})$ .

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Étape 6.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.2.1.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.2.1.4.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3}) (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.2.1.4.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.2.2

Pour écrire $- \frac{x}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.2.3

Pour écrire $- \frac{x}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.4.1

Multipliez $\frac{x}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = (x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.2.4.3

Multipliez $\frac{x}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.2.4.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = (x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = (x^{2} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.2.6

Pour écrire $x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$y = (x^{2} \cdot \frac{6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.2.7

Associez $x^{2}$ et $\frac{6}{6}$ .

$y = (\frac{x^{2} \cdot 6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = (\frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3 + 1}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{6 x^{2} - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{(6 x^{2} - 1 \cdot (2 x)) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{2 x (3 x - 1) - (3 x - 1)}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Étape 6.4

Simplifiez les termes.

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Étape 6.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} \cdot x + \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} \cdot (- \frac{1}{7})$

Étape 6.4.2

Associez $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6}$ et $x$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6} + \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} \cdot (- \frac{1}{7})$

Étape 6.5

Multipliez $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} (- \frac{1}{7})$ .

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Étape 6.5.1

Multipliez $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6}$ par $\frac{1}{7}$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6 \cdot 7}$

Étape 6.5.2

Multipliez $6$ par $7$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Étape 6.6

Pour écrire $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6} \cdot \frac{7}{7} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Étape 6.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $42$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.7.1

Multipliez $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6}$ par $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7}{6 \cdot 7} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Étape 6.7.2

Multipliez $6$ par $7$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7}{42} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Étape 6.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7 - (3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Étape 6.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.9.1

Factorisez $(3 x - 1) (2 x - 1)$ à partir de $(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7 - (3 x - 1) (2 x - 1)$ .

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Étape 6.9.1.1

Factorisez $(3 x - 1) (2 x - 1)$ à partir de $(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 7) - (3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Étape 6.9.1.2

Factorisez $(3 x - 1) (2 x - 1)$ à partir de $- (3 x - 1) (2 x - 1)$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 7) + (3 x - 1) (2 x - 1) (- 1)}{42}$

Étape 6.9.1.3

Factorisez $(3 x - 1) (2 x - 1)$ à partir de $(3 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 7) + (3 x - 1) (2 x - 1) (- 1)$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 7 - 1)}{42}$

Étape 6.9.2

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) (7 x - 1)}{42}$

Étape 6.10

Développez $(3 x - 1) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(3 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) (7 x - 1)}{42}$

Étape 6.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) (7 x - 1)}{42}$

Étape 6.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Étape 6.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.11.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{(3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Étape 6.11.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.11.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{(3 \cdot (2 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Étape 6.11.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{(3 \cdot (2 x^{2}) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Étape 6.11.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = \frac{(6 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Étape 6.11.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = \frac{(6 x^{2} - 3 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Étape 6.11.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{(6 x^{2} - 3 x - 2 x - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Étape 6.11.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{(6 x^{2} - 3 x - 2 x + 1) (7 x - 1)}{42}$

Étape 6.11.2

Soustrayez $2 x$ de $- 3 x$ .

$y = \frac{(6 x^{2} - 5 x + 1) (7 x - 1)}{42}$

Étape 6.12

Développez $(6 x^{2} - 5 x + 1) (7 x - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y = \frac{6 x^{2} (7 x) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Étape 6.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.13.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{6 \cdot (7 x^{2} x) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Étape 6.13.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.13.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{6 \cdot (7 (x \cdot x^{2})) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Étape 6.13.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.13.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{6 \cdot (7 (x \cdot x^{2})) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Étape 6.13.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{6 \cdot (7 x^{1 + 2}) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Étape 6.13.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{6 \cdot (7 x^{3}) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Étape 6.13.3

Multipliez $6$ par $7$ .

$y = \frac{42 x^{3} + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Étape 6.13.4

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Étape 6.13.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 5 \cdot (7 x \cdot x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Étape 6.13.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.13.6.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 5 \cdot (7 (x \cdot x)) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Étape 6.13.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 5 \cdot (7 x^{2}) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Étape 6.13.7

Multipliez $- 5$ par $7$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 35 x^{2} - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Étape 6.13.8

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 35 x^{2} + 5 x + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Étape 6.13.9

Multipliez $7 x$ par $1$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 35 x^{2} + 5 x + 7 x + 1 \cdot - 1}{42}$

Étape 6.13.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 35 x^{2} + 5 x + 7 x - 1}{42}$

Étape 6.14

Soustrayez $35 x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 5 x + 7 x - 1}{42}$

Étape 6.15

Additionnez $5 x$ et $7 x$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 12 x - 1}{42}$

Étape 6.16

Divisez la fraction $\frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 12 x - 1}{42}$ en deux fractions.

$y = \frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Étape 6.17

Divisez la fraction $\frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 12 x}{42}$ en deux fractions.

$y = \frac{42 x^{3} - 41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Étape 6.18

Divisez la fraction $\frac{42 x^{3} - 41 x^{2}}{42}$ en deux fractions.

$y = \frac{42 x^{3}}{42} + \frac{- 41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Étape 6.19

Annulez le facteur commun de $42$ .

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Étape 6.19.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{42 x^{3}}{42} + \frac{- 41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Étape 6.19.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$y = x^{3} + \frac{- 41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Étape 6.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Étape 6.21

Annulez le facteur commun à $12$ et $42$ .

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Étape 6.21.1

Factorisez $6$ à partir de $12 x$ .

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{6 (2 x)}{42} + \frac{- 1}{42}$

Étape 6.21.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.21.2.1

Factorisez $6$ à partir de $42$ .

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{6 (2 x)}{6 (7)} + \frac{- 1}{42}$

Étape 6.21.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{6 (2 x)}{6 \cdot 7} + \frac{- 1}{42}$

Étape 6.21.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{2 x}{7} + \frac{- 1}{42}$

Étape 6.22

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{2 x}{7} - \frac{1}{42}$

Étape 7