Algèbre Exemples

$\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{5}$

Étape 1

Les racines sont les points où le graphe croise l’axe des x $(y = 0)$ .

$y = 0$ aux racines

Étape 2

La racine sur $x = \frac{1}{2}$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (\frac{1}{2}) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - \frac{1}{2}$

Étape 3

La racine sur $x = \frac{1}{4}$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (\frac{1}{4}) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - \frac{1}{4}$

Étape 4

La racine sur $x = \frac{1}{5}$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (\frac{1}{5}) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - \frac{1}{5}$

Étape 5

Associez tous les facteurs en une équation unique.

$y = (x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{4}) (x - \frac{1}{5})$

Étape 6

Multipliez tous les facteurs pour simplifier l’équation $y = (x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{4}) (x - \frac{1}{5})$ .

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Étape 6.1

Développez $(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{4})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x (x - \frac{1}{4}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{4})) (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x \cdot x + x (- \frac{1}{4}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{4})) (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x \cdot x + x (- \frac{1}{4}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{4})) (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = (x^{2} + x (- \frac{1}{4}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{4})) (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.2.1.2

Associez $x$ et $\frac{1}{4}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{4})) (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{4})) (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{4})$ .

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Étape 6.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{4}) (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.2.1.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}) (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.2.1.4.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2 \cdot 4}) (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.2.1.4.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.2.2

Pour écrire $- \frac{x}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $\frac{x}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{x \cdot 2}{4} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = (x^{2} + \frac{- x - x \cdot 2}{4} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.2.5

Pour écrire $x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = (x^{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- x - x \cdot 2}{4} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.2.6

Associez $x^{2}$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = (\frac{x^{2} \cdot 4}{4} + \frac{- x - x \cdot 2}{4} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = (\frac{x^{2} \cdot 4 - x - x \cdot 2}{4} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.2.8

Pour écrire $\frac{x^{2} \cdot 4 - x - x \cdot 2}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = (\frac{x^{2} \cdot 4 - x - x \cdot 2}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.2.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.9.1

Multipliez $\frac{x^{2} \cdot 4 - x - x \cdot 2}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = (\frac{(x^{2} \cdot 4 - x - x \cdot 2) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.2.9.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$y = (\frac{(x^{2} \cdot 4 - x - x \cdot 2) \cdot 2}{8} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{(x^{2} \cdot 4 - x - x \cdot 2) \cdot 2 + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = \frac{(4 \cdot x^{2} - x - x \cdot 2) \cdot 2 + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{(4 x^{2} - x - 2 x) \cdot 2 + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- x$ .

$y = \frac{(4 x^{2} - 3 x) \cdot 2 + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{4 x^{2} \cdot 2 - 3 x \cdot 2 + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.3.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{8 x^{2} - 3 x \cdot 2 + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.3.5

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$y = \frac{8 x^{2} - 6 x + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.3.6

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.3.6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 8 \cdot 1 = 8$ et dont la somme est $b = - 6$ .

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Étape 6.3.6.1.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 x$ .

$y = \frac{8 x^{2} - 6 x + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.3.6.1.2

Réécrivez $- 6$ comme $- 2$ plus $- 4$

$y = \frac{8 x^{2} + (- 2 - 4) x + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.3.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{8 x^{2} - 2 x - 4 x + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.3.6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.3.6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{(8 x^{2} - 2 x) - 4 x + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.3.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{2 x (4 x - 1) - (4 x - 1)}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.3.6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x - 1$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Étape 6.4

Simplifiez les termes.

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Étape 6.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{8} \cdot x + \frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{8} \cdot (- \frac{1}{5})$

Étape 6.4.2

Associez $\frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{8}$ et $x$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) x}{8} + \frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{8} \cdot (- \frac{1}{5})$

Étape 6.5

Multipliez $\frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{8} (- \frac{1}{5})$ .

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Étape 6.5.1

Multipliez $\frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{8}$ par $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) x}{8} - \frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{8 \cdot 5}$

Étape 6.5.2

Multipliez $8$ par $5$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) x}{8} - \frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{40}$

Étape 6.6

Pour écrire $\frac{(4 x - 1) (2 x - 1) x}{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) x}{8} \cdot \frac{5}{5} - \frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{40}$

Étape 6.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $40$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.7.1

Multipliez $\frac{(4 x - 1) (2 x - 1) x}{8}$ par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 5}{8 \cdot 5} - \frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{40}$

Étape 6.7.2

Multipliez $8$ par $5$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 5}{40} - \frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{40}$

Étape 6.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 5 - (4 x - 1) (2 x - 1)}{40}$

Étape 6.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.9.1

Factorisez $(4 x - 1) (2 x - 1)$ à partir de $(4 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 5 - (4 x - 1) (2 x - 1)$ .

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Étape 6.9.1.1

Factorisez $(4 x - 1) (2 x - 1)$ à partir de $(4 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 5$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 5) - (4 x - 1) (2 x - 1)}{40}$

Étape 6.9.1.2

Factorisez $(4 x - 1) (2 x - 1)$ à partir de $- (4 x - 1) (2 x - 1)$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 5) + (4 x - 1) (2 x - 1) (- 1)}{40}$

Étape 6.9.1.3

Factorisez $(4 x - 1) (2 x - 1)$ à partir de $(4 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 5) + (4 x - 1) (2 x - 1) (- 1)$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 5 - 1)}{40}$

Étape 6.9.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) (5 x - 1)}{40}$

Étape 6.10

Développez $(4 x - 1) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(4 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) (5 x - 1)}{40}$

Étape 6.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(4 x (2 x) + 4 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) (5 x - 1)}{40}$

Étape 6.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(4 x (2 x) + 4 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (5 x - 1)}{40}$

Étape 6.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.11.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{(4 \cdot (2 x \cdot x) + 4 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (5 x - 1)}{40}$

Étape 6.11.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.11.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{(4 \cdot (2 (x \cdot x)) + 4 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (5 x - 1)}{40}$

Étape 6.11.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{(4 \cdot (2 x^{2}) + 4 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (5 x - 1)}{40}$

Étape 6.11.1.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$y = \frac{(8 x^{2} + 4 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (5 x - 1)}{40}$

Étape 6.11.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{(8 x^{2} - 4 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (5 x - 1)}{40}$

Étape 6.11.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{(8 x^{2} - 4 x - 2 x - 1 \cdot - 1) (5 x - 1)}{40}$

Étape 6.11.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{(8 x^{2} - 4 x - 2 x + 1) (5 x - 1)}{40}$

Étape 6.11.2

Soustrayez $2 x$ de $- 4 x$ .

$y = \frac{(8 x^{2} - 6 x + 1) (5 x - 1)}{40}$

Étape 6.12

Développez $(8 x^{2} - 6 x + 1) (5 x - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y = \frac{8 x^{2} (5 x) + 8 x^{2} \cdot - 1 - 6 x (5 x) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Étape 6.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.13.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{8 \cdot (5 x^{2} x) + 8 x^{2} \cdot - 1 - 6 x (5 x) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Étape 6.13.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.13.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{8 \cdot (5 (x \cdot x^{2})) + 8 x^{2} \cdot - 1 - 6 x (5 x) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Étape 6.13.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.13.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{8 \cdot (5 (x \cdot x^{2})) + 8 x^{2} \cdot - 1 - 6 x (5 x) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Étape 6.13.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{8 \cdot (5 x^{1 + 2}) + 8 x^{2} \cdot - 1 - 6 x (5 x) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Étape 6.13.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{8 \cdot (5 x^{3}) + 8 x^{2} \cdot - 1 - 6 x (5 x) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Étape 6.13.3

Multipliez $8$ par $5$ .

$y = \frac{40 x^{3} + 8 x^{2} \cdot - 1 - 6 x (5 x) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Étape 6.13.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$y = \frac{40 x^{3} - 8 x^{2} - 6 x (5 x) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Étape 6.13.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{40 x^{3} - 8 x^{2} - 6 \cdot (5 x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Étape 6.13.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.13.6.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{40 x^{3} - 8 x^{2} - 6 \cdot (5 (x \cdot x)) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Étape 6.13.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{40 x^{3} - 8 x^{2} - 6 \cdot (5 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Étape 6.13.7

Multipliez $- 6$ par $5$ .

$y = \frac{40 x^{3} - 8 x^{2} - 30 x^{2} - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Étape 6.13.8

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$y = \frac{40 x^{3} - 8 x^{2} - 30 x^{2} + 6 x + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Étape 6.13.9

Multipliez $5 x$ par $1$ .

$y = \frac{40 x^{3} - 8 x^{2} - 30 x^{2} + 6 x + 5 x + 1 \cdot - 1}{40}$

Étape 6.13.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{40 x^{3} - 8 x^{2} - 30 x^{2} + 6 x + 5 x - 1}{40}$

Étape 6.14

Soustrayez $30 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$y = \frac{40 x^{3} - 38 x^{2} + 6 x + 5 x - 1}{40}$

Étape 6.15

Additionnez $6 x$ et $5 x$ .

$y = \frac{40 x^{3} - 38 x^{2} + 11 x - 1}{40}$

Étape 6.16

Divisez la fraction $\frac{40 x^{3} - 38 x^{2} + 11 x - 1}{40}$ en deux fractions.

$y = \frac{40 x^{3} - 38 x^{2} + 11 x}{40} + \frac{- 1}{40}$

Étape 6.17

Divisez la fraction $\frac{40 x^{3} - 38 x^{2} + 11 x}{40}$ en deux fractions.

$y = \frac{40 x^{3} - 38 x^{2}}{40} + \frac{11 x}{40} + \frac{- 1}{40}$

Étape 6.18

Divisez la fraction $\frac{40 x^{3} - 38 x^{2}}{40}$ en deux fractions.

$y = \frac{40 x^{3}}{40} + \frac{- 38 x^{2}}{40} + \frac{11 x}{40} + \frac{- 1}{40}$

Étape 6.19

Annulez le facteur commun de $40$ .

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Étape 6.19.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{40 x^{3}}{40} + \frac{- 38 x^{2}}{40} + \frac{11 x}{40} + \frac{- 1}{40}$

Étape 6.19.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$y = x^{3} + \frac{- 38 x^{2}}{40} + \frac{11 x}{40} + \frac{- 1}{40}$

Étape 6.20

Annulez le facteur commun à $- 38$ et $40$ .

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Étape 6.20.1

Factorisez $2$ à partir de $- 38 x^{2}$ .

$y = x^{3} + \frac{2 (- 19 x^{2})}{40} + \frac{11 x}{40} + \frac{- 1}{40}$

Étape 6.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.20.2.1

Factorisez $2$ à partir de $40$ .

$y = x^{3} + \frac{2 (- 19 x^{2})}{2 (20)} + \frac{11 x}{40} + \frac{- 1}{40}$

Étape 6.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = x^{3} + \frac{2 (- 19 x^{2})}{2 \cdot 20} + \frac{11 x}{40} + \frac{- 1}{40}$

Étape 6.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = x^{3} + \frac{- 19 x^{2}}{20} + \frac{11 x}{40} + \frac{- 1}{40}$

Étape 6.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = x^{3} - \frac{19 x^{2}}{20} + \frac{11 x}{40} + \frac{- 1}{40}$

Étape 6.22

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = x^{3} - \frac{19 x^{2}}{20} + \frac{11 x}{40} - \frac{1}{40}$

Étape 7