Algèbre Exemples

$f (x) = 2 x^{4} + 3 x^{3} + 16 x^{2} + 27 x - 18$

Étape 1

Regroupez les termes.

$f (x) = 3 x^{3} + 27 x + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

Étape 2

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{3} + 27 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{3}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2}) + 27 x + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

Étape 2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $27 x$ .

$f (x) = 3 x (x^{2}) + 3 x (9) + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

Étape 2.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x^{2}) + 3 x (9)$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

Étape 3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4}) + 16 x^{2} - 18$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $16 x^{2}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4}) + 2 (8 x^{2}) - 18$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 x^{4} + 2 (8 x^{2}) + 2 \cdot - 9$

Étape 3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4} + 2 (8 x^{2})$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4} + 8 x^{2}) + 2 \cdot - 9$

Étape 3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{4} + 8 x^{2}) + 2 \cdot - 9$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4} + 8 x^{2} - 9)$

Étape 4

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ({(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 9)$

Étape 5

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (u^{2} + 8 u - 9)$

Étape 6

Factorisez $u^{2} + 8 u - 9$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + i x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $i$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 9$ et dont la somme est $8$ .

$f (x) = - 1, 9$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((u - 1) (u + 9))$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((x^{2} - 1) (x^{2} + 9))$

Étape 8

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 9))$

Étape 9

Factorisez.

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Étape 9.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ où $a = x$ et $i = 1$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9))$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$

Étape 10

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de $3 x (x^{2} + 9) + 2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ .

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Étape 10.1

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de $3 x (x^{2} + 9)$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x) + 2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$

Étape 10.2

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de $2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x) + (x^{2} + 9) (2 (x + 1) (x - 1))$

Étape 10.3

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de $(x^{2} + 9) (3 x) + (x^{2} + 9) (2 (x + 1) (x - 1))$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 (x + 1) (x - 1))$

Étape 11

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + (2 x + 2 \cdot 1) (x - 1))$

Étape 12

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + (2 x + 2) (x - 1))$

Étape 13

Développez $(2 x + 2) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x (x - 1) + 2 (x - 1))$

Étape 13.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 (x - 1))$

Étape 13.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1)$

Étape 14

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1)$

Étape 14.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1)$

Étape 14.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 1)$

Étape 14.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2)$

Étape 14.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} + 0 - 2)$

Étape 14.3

Additionnez $2 x^{2}$ et $0$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} - 2)$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 3 x - 2)$

Étape 16

Factorisez.

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Étape 16.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 16.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + i x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ et dont la somme est $i = 3$ .

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Étape 16.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 3 (x) - 2)$

Étape 16.1.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 1$ plus $4$

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2)$

Étape 16.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2)$

Étape 16.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 16.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f (x) = (x^{2} + 9) ((2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2)$

Étape 16.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f (x) = (x^{2} + 9) (x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1))$

Étape 16.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) ((2 x - 1) (x + 2))$

Étape 16.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 2)$