Algèbre Exemples

$w (x) = x^{4} + 5 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 9$

Étape 1

Regroupez les termes.

$w (x) = - 3 x - 9 + x^{4} + 5 x^{3} + 6 x^{2}$

Étape 2

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x - 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x$ .

$w (x) = - 3 x - 9 + x^{4} + 5 x^{3} + 6 x^{2}$

Étape 2.2

Factorisez $- 3$ à partir de $- 9$ .

$w (x) = - 3 x - 3 \cdot 3 + x^{4} + 5 x^{3} + 6 x^{2}$

Étape 2.3

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (x) - 3 (3)$ .

$w (x) = - 3 (x + 3) + x^{4} + 5 x^{3} + 6 x^{2}$

Étape 3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} + 5 x^{3} + 6 x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$w (x) = - 3 (x + 3) + x^{2} x^{2} + 5 x^{3} + 6 x^{2}$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $5 x^{3}$ .

$w (x) = - 3 (x + 3) + x^{2} x^{2} + x^{2} (5 x) + 6 x^{2}$

Étape 3.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $6 x^{2}$ .

$w (x) = - 3 (x + 3) + x^{2} x^{2} + x^{2} (5 x) + x^{2} \cdot 6$

Étape 3.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} (5 x)$ .

$w (x) = - 3 (x + 3) + x^{2} (x^{2} + 5 x) + x^{2} \cdot 6$

Étape 3.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{2} + 5 x) + x^{2} \cdot 6$ .

$w (x) = - 3 (x + 3) + x^{2} (x^{2} + 5 x + 6)$

Étape 4

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Factorisez $x^{2} + 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + i x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $i$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $5$ .

$w (x) = 2, 3$

Étape 4.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$w (x) = - 3 (x + 3) + x^{2} ((x + 2) (x + 3))$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$w (x) = - 3 (x + 3) + x^{2} (x + 2) (x + 3)$

Étape 5

Factorisez $x + 3$ à partir de $- 3 (x + 3) + x^{2} (x + 2) (x + 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Factorisez $x + 3$ à partir de $- 3 (x + 3)$ .

$w (x) = (x + 3) \cdot - 3 + x^{2} (x + 2) (x + 3)$

Étape 5.2

Factorisez $x + 3$ à partir de $x^{2} (x + 2) (x + 3)$ .

$w (x) = (x + 3) \cdot - 3 + (x + 3) (x^{2} (x + 2))$

Étape 5.3

Factorisez $x + 3$ à partir de $(x + 3) \cdot - 3 + (x + 3) (x^{2} (x + 2))$ .

$w (x) = (x + 3) (- 3 + x^{2} (x + 2))$

Étape 6

Appliquez la propriété distributive.

$w (x) = (x + 3) (- 3 + x^{2} x + x^{2} \cdot 2)$

Étape 7

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$w (x) = (x + 3) (- 3 + x^{2} x + x^{2} \cdot 2)$

Étape 7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$w (x) = (x + 3) (- 3 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2)$

Étape 7.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$w (x) = (x + 3) (- 3 + x^{3} + x^{2} \cdot 2)$

Étape 8

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$w (x) = (x + 3) (- 3 + x^{3} + 2 x^{2})$

Étape 9

Remettez les termes dans l’ordre.

$w (x) = (x + 3) (x^{3} + 2 x^{2} - 3)$

Étape 10

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Factorisez $x^{3} + 2 x^{2} - 3$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$w (x) = p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 10.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$w (x) = \pm 1, \pm 3$

Étape 10.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$w (x) = 1^{3} + 2 \cdot 1^{2} - 3$

Étape 10.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$w (x) = 1 + 2 \cdot 1^{2} - 3$

Étape 10.1.3.3

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$w (x) = 1 + 2 \cdot 1 - 3$

Étape 10.1.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$w (x) = 1 + 2 - 3$

Étape 10.1.3.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$w (x) = 3 - 3$

Étape 10.1.3.6

Soustrayez $3$ de $3$ .

$w (x) = 0$

Étape 10.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$w (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 3}{x - 1}$

Étape 10.1.5

Divisez $x^{3} + 2 x^{2} - 3$ par $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$w (x) =$

Étape 10.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$w (x) =$

Étape 10.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$w (x) =$

Étape 10.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

$w (x) =$

Étape 10.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$w (x) =$

Étape 10.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$w (x) =$

Étape 10.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$w (x) =$

Étape 10.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$w (x) =$

Étape 10.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{2} - 3 x$

$w (x) =$

Étape 10.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$w (x) =$

Étape 10.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$w (x) =$

Étape 10.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$w (x) =$

Étape 10.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$w (x) =$

Étape 10.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x - 3$

$w (x) =$

Étape 10.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$w (x) =$

Étape 10.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$w (x) = x^{2} + 3 x + 3$

Étape 10.1.6

Écrivez $x^{3} + 2 x^{2} - 3$ comme un ensemble de facteurs.

$w (x) = (x + 3) ((x - 1) (x^{2} + 3 x + 3))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$w (x) = (x + 3) (x - 1) (x^{2} + 3 x + 3)$