Algèbre Exemples

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9^{2}} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{6^{2}} > 1$

Étape 1

Soustrayez $\frac{{(x + 4)}^{2}}{9^{2}}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{6^{2}} > 1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9^{2}}$

Étape 2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > 1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9^{2}}$

Étape 3

Simplifiez $1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9^{2}}$ .

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Étape 3.1

Associez en une fraction.

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Étape 3.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > 1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{81}$

Étape 3.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{81}{81} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{81}$

Étape 3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{81 - {(x + 4)}^{2}}{81}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{9^{2} - {(x + 4)}^{2}}{81}$

Étape 3.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 9$ et $b = x + 4$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{(9 + x + 4) (9 - (x + 4))}{81}$

Étape 3.2.3

Simplifiez

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Étape 3.2.3.1

Additionnez $9$ et $4$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{(x + 13) (9 - (x + 4))}{81}$

Étape 3.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{(x + 13) (9 - x - 1 \cdot 4)}{81}$

Étape 3.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{(x + 13) (9 - x - 4)}{81}$

Étape 3.2.3.4

Soustrayez $4$ de $9$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{(x + 13) (- x + 5)}{81}$

Étape 3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{(x + 13) (- (x) + 5)}{81}$

Étape 3.3.2

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{(x + 13) (- (x) - 1 (- 5))}{81}$

Étape 3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 5)$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{(x + 13) (- (x - 5))}{81}$

Étape 3.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.4.1

Réécrivez $- (x - 5)$ comme $- 1 (x - 5)$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{(x + 13) (- 1 (x - 5))}{81}$

Étape 3.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > - \frac{(x + 13) (x - 5)}{81}$

Étape 4

Multipliez les deux côtés par $36$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} \cdot 36 > - \frac{(x + 13) (x - 5)}{81} \cdot 36$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun de $36$ .

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Étape 5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} \cdot 36 > - \frac{(x + 13) (x - 5)}{81} \cdot 36$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 1)}^{2} > - \frac{(x + 13) (x - 5)}{81} \cdot 36$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $- \frac{(x + 13) (x - 5)}{81} \cdot 36$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{(x + 13) (x - 5)}{81}$ dans le numérateur.

${(y + 1)}^{2} > \frac{- (x + 13) (x - 5)}{81} \cdot 36$

Étape 5.2.1.1.2

Factorisez $9$ à partir de $81$ .

${(y + 1)}^{2} > \frac{- (x + 13) (x - 5)}{9 (9)} \cdot 36$

Étape 5.2.1.1.3

Factorisez $9$ à partir de $36$ .

${(y + 1)}^{2} > \frac{- (x + 13) (x - 5)}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot 4)$

Étape 5.2.1.1.4

Annulez le facteur commun.

${(y + 1)}^{2} > \frac{- (x + 13) (x - 5)}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot 4)$

Étape 5.2.1.1.5

Réécrivez l’expression.

${(y + 1)}^{2} > \frac{- (x + 13) (x - 5)}{9} \cdot 4$

Étape 5.2.1.2

Associez $\frac{- (x + 13) (x - 5)}{9}$ et $4$ .

${(y + 1)}^{2} > \frac{- (x + 13) (x - 5) \cdot 4}{9}$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.3.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

${(y + 1)}^{2} > \frac{- 4 (x + 13) (x - 5)}{9}$

Étape 5.2.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

${(y + 1)}^{2} > - \frac{4 (x + 13) (x - 5)}{9}$

Étape 6

Résolvez $y$ .

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Étape 6.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{{(y + 1)}^{2}} > \sqrt{- \frac{4 (x + 13) (x - 5)}{9}}$

Étape 6.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| y + 1 | > \sqrt{- \frac{4 (x + 13) (x - 5)}{9}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $\sqrt{- \frac{4 (x + 13) (x - 5)}{9}}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Réécrivez $- \frac{4 (x + 13) (x - 5)}{9}$ comme ${(\frac{2}{3})}^{2} \cdot (- (x + 13) (x - 5))$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4 (x + 13) (x - 5)$ .

$| y + 1 | > \sqrt{- \frac{2^{2} ((x + 13) (x - 5))}{9}}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$| y + 1 | > \sqrt{- \frac{2^{2} ((x + 13) (x - 5))}{3^{2} \cdot 1}}$

Étape 6.2.2.1.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{2^{2} ((x + 13) (x - 5))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$| y + 1 | > \sqrt{- ({(\frac{2}{3})}^{2} ((x + 13) (x - 5)))}$

Étape 6.2.2.1.1.4

Remettez dans l’ordre $- 1$ et ${(\frac{2}{3})}^{2}$ .

$| y + 1 | > \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} \cdot - 1 (x + 13) (x - 5)}$

Étape 6.2.2.1.1.5

Ajoutez des parenthèses.

$| y + 1 | > \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} \cdot - 1 ((x + 13) (x - 5))}$

Étape 6.2.2.1.1.6

Ajoutez des parenthèses.

$| y + 1 | > \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} \cdot (- (x + 13) (x - 5))}$

Étape 6.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| y + 1 | > | \frac{2}{3} | \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}$

Étape 6.2.2.1.3

$\frac{2}{3}$ est d’environ $0.\overline{6}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$| y + 1 | > \frac{2}{3} \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}$

Étape 6.2.2.1.4

Associez $\frac{2}{3}$ et $\sqrt{- (x + 13) (x - 5)}$ .

$| y + 1 | > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$

Étape 6.3

Écrivez $| y + 1 | > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 6.3.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$y + 1 \geq 0$

Étape 6.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$y \geq - 1$

Étape 6.3.3

Dans la partie où $y + 1$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$y + 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$

Étape 6.3.4

Déterminez le domaine de $y + 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$ et déterminez l’intersection avec $y \geq - 1$ .

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Étape 6.3.4.1

Déterminez le domaine de $y + 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$ .

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Étape 6.3.4.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- (x + 13) (x - 5)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- (x + 13) (x - 5) \geq 0$

Étape 6.3.4.1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 6.3.4.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- (x + 13) (x - 5) \geq 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.4.1.2.1.1

Divisez chaque terme dans $- (x + 13) (x - 5) \geq 0$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- (x + 13) (x - 5)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.4.1.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.4.1.2.1.2.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.3.4.1.2.1.2.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{(x + 13) (x - 5)}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.4.1.2.1.2.1.2

Divisez $(x + 13) (x - 5)$ par $1$ .

$(x + 13) (x - 5) \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.4.1.2.1.2.2

Développez $(x + 13) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.4.1.2.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 5) + 13 (x - 5) \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.4.1.2.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 5 + 13 (x - 5) \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.4.1.2.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 5 + 13 x + 13 \cdot - 5 \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.4.1.2.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.4.1.2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.4.1.2.1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 5 + 13 x + 13 \cdot - 5 \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.4.1.2.1.2.3.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 5 \cdot x + 13 x + 13 \cdot - 5 \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.4.1.2.1.2.3.1.3

Multipliez $13$ par $- 5$ .

$x^{2} - 5 x + 13 x - 65 \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.4.1.2.1.2.3.2

Additionnez $- 5 x$ et $13 x$ .

$x^{2} + 8 x - 65 \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.4.1.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.4.1.2.1.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$x^{2} + 8 x - 65 \leq 0$

Étape 6.3.4.1.2.2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + 8 x - 65 = 0$

Étape 6.3.4.1.2.3

Factorisez $x^{2} + 8 x - 65$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.3.4.1.2.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 65$ et dont la somme est $8$ .

$- 5, 13$

Étape 6.3.4.1.2.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 5) (x + 13) = 0$

Étape 6.3.4.1.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 13 = 0$

Étape 6.3.4.1.2.5

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.4.1.2.5.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 6.3.4.1.2.5.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 6.3.4.1.2.6

Définissez $x + 13$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.4.1.2.6.1

Définissez $x + 13$ égal à $0$ .

$x + 13 = 0$

Étape 6.3.4.1.2.6.2

Soustrayez $13$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 13$

Étape 6.3.4.1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x + 13) = 0$ vraie.

$x = 5, - 13$

Étape 6.3.4.1.2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 13$

$- 13 < x < 5$

$x > 5$

Étape 6.3.4.1.2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.3.4.1.2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 13$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.1.2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 13$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 16$

Étape 6.3.4.1.2.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 16$ dans l’inégalité d’origine.

$- ((- 16) + 13) ((- 16) - 5) \geq 0$

Étape 6.3.4.1.2.9.1.3

Le côté gauche $- 63$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.3.4.1.2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 13 < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.4.1.2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 13 < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 6.3.4.1.2.9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- ((0) + 13) ((0) - 5) \geq 0$

Étape 6.3.4.1.2.9.2.3

Le côté gauche $65$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.3.4.1.2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.4.1.2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 6.3.4.1.2.9.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$- ((8) + 13) ((8) - 5) \geq 0$

Étape 6.3.4.1.2.9.3.3

Le côté gauche $- 63$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.3.4.1.2.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 13$ Faux

$- 13 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

$x < - 13$ Faux

$- 13 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

Étape 6.3.4.1.2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 13 \leq x \leq 5$

Étape 6.3.4.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $y$ qui rendent l’expression définie.

$[- 13, 5]$

Étape 6.3.4.2

Déterminez l’intersection de $y \geq - 1$ et $[- 13, 5]$ .

$- 1 \leq y \leq 5$

Étape 6.3.5

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$y + 1 < 0$

Étape 6.3.6

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$y < - 1$

Étape 6.3.7

Dans la partie où $y + 1$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- (y + 1) > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$

Étape 6.3.8

Déterminez le domaine de $- (y + 1) > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$ et déterminez l’intersection avec $y < - 1$ .

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Étape 6.3.8.1

Déterminez le domaine de $- (y + 1) > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.8.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- (x + 13) (x - 5)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- (x + 13) (x - 5) \geq 0$

Étape 6.3.8.1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 6.3.8.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- (x + 13) (x - 5) \geq 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.8.1.2.1.1

$\frac{- (x + 13) (x - 5)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.8.1.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.8.1.2.1.2.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.3.8.1.2.1.2.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{(x + 13) (x - 5)}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.8.1.2.1.2.1.2

Divisez $(x + 13) (x - 5)$ par $1$ .

$(x + 13) (x - 5) \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.8.1.2.1.2.2

Développez $(x + 13) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.8.1.2.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 5) + 13 (x - 5) \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.8.1.2.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 5 + 13 (x - 5) \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.8.1.2.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 5 + 13 x + 13 \cdot - 5 \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.8.1.2.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.8.1.2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.8.1.2.1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 5 + 13 x + 13 \cdot - 5 \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.8.1.2.1.2.3.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 5 \cdot x + 13 x + 13 \cdot - 5 \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.8.1.2.1.2.3.1.3

Multipliez $13$ par $- 5$ .

$x^{2} - 5 x + 13 x - 65 \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.8.1.2.1.2.3.2

Additionnez $- 5 x$ et $13 x$ .

$x^{2} + 8 x - 65 \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.8.1.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.8.1.2.1.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$x^{2} + 8 x - 65 \leq 0$

Étape 6.3.8.1.2.2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + 8 x - 65 = 0$

Étape 6.3.8.1.2.3

Factorisez $x^{2} + 8 x - 65$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.3.8.1.2.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 65$ et dont la somme est $8$ .

$- 5, 13$

Étape 6.3.8.1.2.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 5) (x + 13) = 0$

Étape 6.3.8.1.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 13 = 0$

Étape 6.3.8.1.2.5

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.8.1.2.5.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 6.3.8.1.2.5.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 6.3.8.1.2.6

Définissez $x + 13$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.8.1.2.6.1

Définissez $x + 13$ égal à $0$ .

$x + 13 = 0$

Étape 6.3.8.1.2.6.2

Soustrayez $13$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 13$

Étape 6.3.8.1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x + 13) = 0$ vraie.

$x = 5, - 13$

Étape 6.3.8.1.2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 13$

$- 13 < x < 5$

$x > 5$

Étape 6.3.8.1.2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.3.8.1.2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 13$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.8.1.2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 13$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 16$

Étape 6.3.8.1.2.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 16$ dans l’inégalité d’origine.

$- ((- 16) + 13) ((- 16) - 5) \geq 0$

Étape 6.3.8.1.2.9.1.3

Le côté gauche $- 63$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.3.8.1.2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 13 < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.8.1.2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 13 < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 6.3.8.1.2.9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- ((0) + 13) ((0) - 5) \geq 0$

Étape 6.3.8.1.2.9.2.3

Le côté gauche $65$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.3.8.1.2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.8.1.2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 6.3.8.1.2.9.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$- ((8) + 13) ((8) - 5) \geq 0$

Étape 6.3.8.1.2.9.3.3

Le côté gauche $- 63$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.3.8.1.2.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 13$ Faux

$- 13 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

$x < - 13$ Faux

$- 13 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

Étape 6.3.8.1.2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 13 \leq x \leq 5$

Étape 6.3.8.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $y$ qui rendent l’expression définie.

$[- 13, 5]$

Étape 6.3.8.2

Déterminez l’intersection de $y < - 1$ et $[- 13, 5]$ .

$- 13 \leq y < - 1$

Étape 6.3.9

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} y + 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} & - 1 \leq y \leq 5 \\ - (y + 1) > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} & - 13 \leq y < - 1 \end{cases}$

Étape 6.3.10

Simplifiez $- (y + 1) > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$ .

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Étape 6.3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} y + 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} & - 1 \leq y \leq 5 \\ - y - 1 \cdot 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} & - 13 \leq y < - 1 \end{cases}$

Étape 6.3.10.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${\begin{cases} y + 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} & - 1 \leq y \leq 5 \\ - y - 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} & - 13 \leq y < - 1 \end{cases}$

Étape 6.4

Résolvez $y + 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$ quand $- 1 \leq y \leq 5$ .

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Étape 6.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$y > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} - 1$

Étape 6.4.2

Déterminez l’intersection de $y > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} - 1$ et $- 1 \leq y \leq 5$ .

Aucune solution

Étape 6.5

Résolvez $- y - 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$ quand $- 13 \leq y < - 1$ .

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Étape 6.5.1

Résolvez $- y - 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$ pour $y$ .

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Étape 6.5.1.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- y > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} + 1$

Étape 6.5.1.2

Divisez chaque terme dans $- y > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} + 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.5.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- y > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} + 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- y}{- 1} < \frac{\frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

Étape 6.5.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.1.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} < \frac{\frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

Étape 6.5.1.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y < \frac{\frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

Étape 6.5.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.1.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y < \frac{\frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} + 1}{- 1}$

Étape 6.5.1.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y < \frac{\frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} + \frac{3}{3}}{- 1}$

Étape 6.5.1.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y < \frac{\frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)} + 3}{3}}{- 1}$

Étape 6.5.1.2.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.5.1.2.3.4.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)} + 3}{3}}{- 1}$ .

$y < - 1 \cdot \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)} + 3}{3}$

Étape 6.5.1.2.3.4.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)} + 3}{3}$ comme $- \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)} + 3}{3}$ .

$y < - \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)} + 3}{3}$

Étape 6.5.2

Déterminez l’intersection de $y < - \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)} + 3}{3}$ et $- 13 \leq y < - 1$ .

$- 13 \leq y < N o (Min i m u m)$

Étape 6.6

Déterminez l’union des solutions.

$- 13 \leq y < i N o Min m^{2} u$

Étape 7