Algèbre Exemples

$5 x^{2} + 9 y^{2} + 10 x - 54 y + 41$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

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Étape 1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Soustrayez $5 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y - 5 x^{2} = 9 y^{2} + 10 x - 54 y + 41$

Étape 1.1.2

Soustrayez $9 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} = 10 x - 54 y + 41$

Étape 1.1.3

Soustrayez $10 x$ des deux côtés de l’équation.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x = - 54 y + 41$

Étape 1.1.4

Ajoutez $54 y$ aux deux côtés de l’équation.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 54 y = 41$

Étape 1.1.5

Additionnez $y$ et $54 y$ .

$- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- 5 x^{2} - 10 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 5$

$b = - 10$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 5}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 5}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 5$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (- 5)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 5}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 5}{- 5}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 5}{- 5}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 5}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot - 5}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$e = 0 - \frac{100}{- 20}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $100$ par $- 20$ .

$e = 0 - - 5$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$e = 0 + 5$

Étape 1.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $5$ .

$e = 5$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$

Étape 1.3

Remplacez $- 5 x^{2} - 10 x$ par $- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$ dans l’équation $- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} + 5 - 9 y^{2} + 55 y = 41$

Étape 1.4

Déplacez $5$ du côté droit de l’équation en ajoutant $5$ des deux côtés.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 y^{2} + 55 y = 41 - 5$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $- 9 y^{2} + 55 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 9$

$b = 55$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{55}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$d = \frac{55}{- 18}$

Étape 1.5.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{55}{18}$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{55^{2}}{4 \cdot - 9}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $55$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{3025}{4 \cdot - 9}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 9$ .

$e = 0 - \frac{3025}{- 36}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = 0 - - \frac{3025}{36}$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- - \frac{3025}{36}$ .

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Étape 1.5.4.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{3025}{36})$

Étape 1.5.4.2.1.4.2

Multipliez $\frac{3025}{36}$ par $1$ .

$e = 0 + \frac{3025}{36}$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{3025}{36}$ .

$e = \frac{3025}{36}$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$ .

$- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$

Étape 1.6

Remplacez $- 9 y^{2} + 55 y$ par $- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$ dans l’équation $- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36} = 41 - 5$

Étape 1.7

Déplacez $\frac{3025}{36}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{3025}{36}$ des deux côtés.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = 41 - 5 - \frac{3025}{36}$

Étape 1.8

Simplifiez $41 - 5 - \frac{3025}{36}$ .

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Étape 1.8.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.8.1.1

Écrivez $41$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41}{1} - 5 - \frac{3025}{36}$

Étape 1.8.1.2

Multipliez $\frac{41}{1}$ par $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41}{1} \cdot \frac{36}{36} - 5 - \frac{3025}{36}$

Étape 1.8.1.3

Multipliez $\frac{41}{1}$ par $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} - 5 - \frac{3025}{36}$

Étape 1.8.1.4

Écrivez $- 5$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5}{1} - \frac{3025}{36}$

Étape 1.8.1.5

Multipliez $\frac{- 5}{1}$ par $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{36}{36} - \frac{3025}{36}$

Étape 1.8.1.6

Multipliez $\frac{- 5}{1}$ par $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5 \cdot 36}{36} - \frac{3025}{36}$

Étape 1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36 - 5 \cdot 36 - 3025}{36}$

Étape 1.8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.3.1

Multipliez $41$ par $36$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1476 - 5 \cdot 36 - 3025}{36}$

Étape 1.8.3.2

Multipliez $- 5$ par $36$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1476 - 180 - 3025}{36}$

Étape 1.8.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.8.4.1

Soustrayez $180$ de $1476$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1296 - 3025}{36}$

Étape 1.8.4.2

Soustrayez $3025$ de $1296$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{- 1729}{36}$

Étape 1.8.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = - \frac{1729}{36}$

Étape 1.9

Inversez le signe de chaque terme de l’équation afin que le terme du côté droit soit positif.

$5 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1729}{36}$

Étape 1.10

Divisez chaque terme par $\frac{1729}{36}$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{5 {(x + 1)}^{2}}{\frac{1729}{36}} + \frac{9 {(y - \frac{55}{18})}^{2}}{\frac{1729}{36}} = \frac{\frac{1729}{36}}{\frac{1729}{36}}$

Étape 1.11

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{1729}{180}} + \frac{{(y - \frac{55}{18})}^{2}}{\frac{1729}{324}} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = \frac{\sqrt{8645}}{30}$

$b = \frac{\sqrt{1729}}{18}$

$k = \frac{55}{18}$

$h = - 1$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(- 1, \frac{55}{18})$

Étape 5