Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{1}{4} (x - 1) (x + 7)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{4} (x - 1) (x + 7)$ comme une équation.

$y = \frac{1}{4} (x - 1) (x + 7)$

Étape 2

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{1}{4} \cdot ((x - 1) (x + 7))$

Étape 2.1.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{1}{4} \cdot ((x - 1) (x + 7))$

Étape 2.1.3

Simplifiez $\frac{1}{4} \cdot ((x - 1) (x + 7))$ .

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Étape 2.1.3.1

Développez $(x - 1) (x + 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x (x + 7) - 1 (x + 7))$

Étape 2.1.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x \cdot x + x \cdot 7 - 1 (x + 7))$

Étape 2.1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x \cdot x + x \cdot 7 - 1 x - 1 \cdot 7)$

Étape 2.1.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + x \cdot 7 - 1 x - 1 \cdot 7)$

Étape 2.1.3.2.1.2

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 7 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 7)$

Étape 2.1.3.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 7 x - x - 1 \cdot 7)$

Étape 2.1.3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 7 x - x - 7)$

Étape 2.1.3.2.2

Soustrayez $x$ de $7 x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 6 x - 7)$

Étape 2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (6 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Étape 2.1.3.4

Simplifiez

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Étape 2.1.3.4.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (6 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Étape 2.1.3.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (6 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Étape 2.1.3.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (3 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Étape 2.1.3.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (3 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Étape 2.1.3.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} (3 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Étape 2.1.3.4.3

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3}{2} x + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Étape 2.1.3.4.4

Associez $\frac{3}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Étape 2.1.3.4.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 7$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{- 7}{4}$

Étape 2.1.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} - \frac{7}{4}$

Étape 2.2

Complétez le carré pour $\frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} - \frac{7}{4}$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{3}{2}$

$c = - \frac{7}{4}$

Étape 2.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.2.3.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Étape 2.2.3.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.2.3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Étape 2.2.3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Étape 2.2.3.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{3}{2} (1 \cdot 2)$

Étape 2.2.3.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $1 \cdot 2$ .

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Étape 2.2.3.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Étape 2.2.3.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$d = 3$

Étape 2.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.2.4.2.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.2.4.2.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.2.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{\frac{4}{4}}$

Étape 2.2.4.2.1.3

Divisez $4$ par $4$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{1}$

Étape 2.2.4.2.1.4

Divisez $\frac{9}{4}$ par $1$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{9}{4}$

Étape 2.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 7 - 9}{4}$

Étape 2.2.4.2.3

Soustrayez $9$ de $- 7$ .

$e = \frac{- 16}{4}$

Étape 2.2.4.2.4

Divisez $- 16$ par $4$ .

$e = - 4$

Étape 2.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 4$ .

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 4$

Étape 2.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 3)}^{2} - 4$

Étape 3

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 3$

$k = - 4$

Étape 4

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 5

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 3, - 4)$

Étape 6

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 6.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 6.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Étape 6.3.2

Simplifiez en divisant des nombres.

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Étape 6.3.2.1

Divisez $4$ par $4$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 6.3.2.2

Divisez $1$ par $1$ .

$1$

Étape 7

Déterminez le foyer.

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Étape 7.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 3, - 3)$

Étape 8

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = - 3$

Étape 9