Algèbre Exemples

$y = \frac{- 16 x^{2}}{0.434 v^{2}} + 1.15 x + 8$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [- \frac{16 x^{2}}{0.434 v^{2}} + 1.15 x + 8]$

Étape 1.2

Factorisez $16$ à partir de $16 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{16 (x^{2})}{0.434 v^{2}} + 1.15 x + 8]$

Étape 1.3

Factorisez $0.434$ à partir de $0.434 v^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{16 (x^{2})}{0.434 (v^{2})} + 1.15 x + 8]$

Étape 1.4

Séparez les fractions.

$\frac{d}{d x} [- (\frac{16}{0.434} \cdot \frac{x^{2}}{v^{2}}) + 1.15 x + 8]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 1.5.1

Divisez $16$ par $0.434$ .

$\frac{d}{d x} [- (36.86635944 \frac{x^{2}}{v^{2}}) + 1.15 x + 8]$

Étape 1.5.2

Associez $36.86635944$ et $\frac{x^{2}}{v^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{36.86635944 x^{2}}{v^{2}} + 1.15 x + 8]$

Étape 1.5.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{36.86635944 x^{2}}{v^{2}} + 1.15 x + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{36.86635944 x^{2}}{v^{2}}] + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{36.86635944 x^{2}}{v^{2}}] + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{36.86635944 x^{2}}{v^{2}}]$ .

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Étape 1.6.1

Comme $- \frac{36.86635944}{v^{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{36.86635944 x^{2}}{v^{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{36.86635944}{v^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{36.86635944}{v^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{36.86635944}{v^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.6.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{36.86635944}{v^{2}} x + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.6.4

Associez $- 2$ et $\frac{36.86635944}{v^{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 36.86635944}{v^{2}} x + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.6.5

Multipliez $- 2$ par $36.86635944$ .

$\frac{- 73.73271889}{v^{2}} x + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.6.6

Associez $\frac{- 73.73271889}{v^{2}}$ et $x$ .

$\frac{- 73.73271889 x}{v^{2}} + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.6.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [1.15 x]$ .

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Étape 1.7.1

Comme $1.15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1.15 x$ par rapport à $x$ est $1.15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.7.3

Multipliez $1.15$ par $1$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.8.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 + 0$

Étape 1.8.2

Additionnez $- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15$ et $0$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{73.73271889 x}{v^{2}}] + \frac{d}{d x} [1.15]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{73.73271889 x}{v^{2}}) + \frac{d}{d x} (1.15)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{73.73271889 x}{v^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- \frac{73.73271889}{v^{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{73.73271889 x}{v^{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{73.73271889}{v^{2}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{73.73271889}{v^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1.15)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{73.73271889}{v^{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1.15)$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{73.73271889}{v^{2}} + \frac{d}{d x} (1.15)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $1.15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1.15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{73.73271889}{v^{2}} + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- \frac{73.73271889}{v^{2}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{73.73271889}{v^{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [- \frac{16 x^{2}}{0.434 v^{2}} + 1.15 x + 8]$

Étape 4.1.2

Factorisez $16$ à partir de $16 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{16 (x^{2})}{0.434 v^{2}} + 1.15 x + 8]$

Étape 4.1.3

Factorisez $0.434$ à partir de $0.434 v^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{16 (x^{2})}{0.434 (v^{2})} + 1.15 x + 8]$

Étape 4.1.4

Séparez les fractions.

$\frac{d}{d x} [- (\frac{16}{0.434} \cdot \frac{x^{2}}{v^{2}}) + 1.15 x + 8]$

Étape 4.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 4.1.5.1

Divisez $16$ par $0.434$ .

$\frac{d}{d x} [- (36.86635944 \frac{x^{2}}{v^{2}}) + 1.15 x + 8]$

Étape 4.1.5.2

Associez $36.86635944$ et $\frac{x^{2}}{v^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{36.86635944 x^{2}}{v^{2}} + 1.15 x + 8]$

Étape 4.1.5.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{36.86635944 x^{2}}{v^{2}}] + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{36.86635944 x^{2}}{v^{2}}]$ .

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Étape 4.1.6.1

Comme $- \frac{36.86635944}{v^{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{36.86635944 x^{2}}{v^{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{36.86635944}{v^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{36.86635944}{v^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{36.86635944}{v^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.6.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{36.86635944}{v^{2}} x + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.6.4

Associez $- 2$ et $\frac{36.86635944}{v^{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 36.86635944}{v^{2}} x + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.6.5

Multipliez $- 2$ par $36.86635944$ .

$\frac{- 73.73271889}{v^{2}} x + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.6.6

Associez $\frac{- 73.73271889}{v^{2}}$ et $x$ .

$\frac{- 73.73271889 x}{v^{2}} + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.6.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [1.15 x]$ .

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Étape 4.1.7.1

Comme $1.15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1.15 x$ par rapport à $x$ est $1.15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.7.3

Multipliez $1.15$ par $1$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.8

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.8.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 + 0$

Étape 4.1.8.2

Additionnez $- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15$ et $0$ .

$f' (x) = - \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $1.15$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} = - 1.15$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} = - 1.15$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} = - 1.15$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{73.73271889 x}{v^{2}}}{- 1} = \frac{- 1.15}{- 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{73.73271889 x}{v^{2}}}{1} = \frac{- 1.15}{- 1}$

Étape 5.3.2.2

Divisez $\frac{73.73271889 x}{v^{2}}$ par $1$ .

$\frac{73.73271889 x}{v^{2}} = \frac{- 1.15}{- 1}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $- 1.15$ par $- 1$ .

$\frac{73.73271889 x}{v^{2}} = 1.15$

Étape 5.4

Multipliez les deux côtés par $v^{2}$ .

$\frac{73.73271889 x}{v^{2}} v^{2} = 1.15 v^{2}$

Étape 5.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.1

Annulez le facteur commun de $v^{2}$ .

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Étape 5.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{73.73271889 x}{v^{2}} v^{2} = 1.15 v^{2}$

Étape 5.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$73.73271889 x = 1.15 v^{2}$

Étape 5.6

Divisez chaque terme dans $73.73271889 x = 1.15 v^{2}$ par $73.73271889$ et simplifiez.

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Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $73.73271889 x = 1.15 v^{2}$ par $73.73271889$ .

$\frac{73.73271889 x}{73.73271889} = \frac{1.15 v^{2}}{73.73271889}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $73.73271889$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{73.73271889 x}{73.73271889} = \frac{1.15 v^{2}}{73.73271889}$

Étape 5.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1.15 v^{2}}{73.73271889}$

Étape 5.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.3.1

Factorisez $1.15$ à partir de $1.15 v^{2}$ .

$x = \frac{1.15 (v^{2})}{73.73271889}$

Étape 5.6.3.2

Factorisez $73.73271889$ à partir de $73.73271889$ .

$x = \frac{1.15 (v^{2})}{73.73271889 (1)}$

Étape 5.6.3.3

Séparez les fractions.

$x = \frac{1.15}{73.73271889} \cdot \frac{v^{2}}{1}$

Étape 5.6.3.4

Divisez $1.15$ par $73.73271889$ .

$x = 0.01559687 \frac{v^{2}}{1}$

Étape 5.6.3.5

Divisez $v^{2}$ par $1$ .

$x = 0.01559687 v^{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{73.73271889 x}{v^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$v^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$v = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$v = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$v = \pm 0$

Étape 6.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$v = 0$

Étape 6.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0.01559687 v^{2}$

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0.01559687 v^{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{73.73271889}{v^{2}}$

Étape 9

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 10