Algèbre Exemples

$1 + 4 i$ , $- 2 + 4 i$ , $- 2 - 3 i$ , $1 - 3 i$

Étape 1

$x = 1 + 4 i$ et $x = - 2 + 4 i$ sont les deux solutions réelles distinctes de l’équation quadratique, ce qui signifie que $x - 1 + 4 i$ et $x - - 2 + 4 i$ sont les facteurs de l’équation quadratique.

$(x - 1 + 4 i) (x + 2 + 4 i) = 0$

Étape 2

Développez $(x - 1 + 4 i) (x + 2 + 4 i)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x \cdot x + x \cdot 2 + x (4 i) - 1 x - 1 \cdot 2 - 1 (4 i) + 4 i x + 4 i \cdot 2 + 4 i (4 i) = 0$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 + x (4 i) - 1 x - 1 \cdot 2 - 1 (4 i) + 4 i x + 4 i \cdot 2 + 4 i (4 i) = 0$

Étape 3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x + x (4 i) - 1 x - 1 \cdot 2 - 1 (4 i) + 4 i x + 4 i \cdot 2 + 4 i (4 i) = 0$

Étape 3.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 2 x + 4 \cdot (x i) - 1 x - 1 \cdot 2 - 1 (4 i) + 4 i x + 4 i \cdot 2 + 4 i (4 i) = 0$

Étape 3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 1 \cdot 2 - 1 (4 i) + 4 i x + 4 i \cdot 2 + 4 i (4 i) = 0$

Étape 3.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 1 (4 i) + 4 i x + 4 i \cdot 2 + 4 i (4 i) = 0$

Étape 3.1.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 4 i \cdot 2 + 4 i (4 i) = 0$

Étape 3.1.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i + 4 i (4 i) = 0$

Étape 3.1.8

Multipliez $4 i (4 i)$ .

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Étape 3.1.8.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i + 16 i i = 0$

Étape 3.1.8.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i + 16 (i i) = 0$

Étape 3.1.8.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i + 16 (i i) = 0$

Étape 3.1.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i + 16 i^{1 + 1} = 0$

Étape 3.1.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i + 16 i^{2} = 0$

Étape 3.1.9

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i + 16 \cdot - 1 = 0$

Étape 3.1.10

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i - 16 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$x^{2} + 4 x i + x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i - 16 = 0$

Étape 4

Additionnez $4 x i$ et $4 i x$ .

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Étape 4.1

Déplacez $i$ .

$x^{2} + 4 x i + 4 x i + x - 2 - 4 i + 8 i - 16 = 0$

Étape 4.2

Additionnez $4 x i$ et $4 x i$ .

$x^{2} + 8 x i + x - 2 - 4 i + 8 i - 16 = 0$

Étape 5

Soustrayez $16$ de $- 2$ .

$x^{2} + 8 x i + x - 18 - 4 i + 8 i = 0$

Étape 6

Additionnez $- 4 i$ et $8 i$ .

$x^{2} + 8 x i + x - 18 + 4 i = 0$

Étape 7

L’équation quadratique standard en utilisant l’ensemble de solutions donné ${1 + 4 i, - 2 + 4 i, - 2 - 3 i, 1 - 3 i}$ est $y = x^{2} + 8 x i + x - 18 + 4 i$ .

$y = x^{2} + 8 x i + x - 18 + 4 i$

Étape 8