Algèbre Exemples

$\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$

Étape 1

$x = \frac{1}{2}$ et $x = \frac{1}{3}$ sont les deux solutions réelles distinctes de l’équation quadratique, ce qui signifie que $x - \frac{1}{2}$ et $x - \frac{1}{3}$ sont les facteurs de l’équation quadratique.

$(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3}) = 0$

Étape 2

Développez $(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}) = 0$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}) = 0$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

Étape 3.1.2

Associez $x$ et $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

Étape 3.1.3

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

Étape 3.1.4

Multipliez $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{3})$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{3} = 0$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = 0$

Étape 3.1.4.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} = 0$

Étape 3.1.4.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6} = 0$

Étape 3.2

Pour écrire $- \frac{x}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6} = 0$

Étape 3.3

Pour écrire $- \frac{x}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6} = 0$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{x}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6} = 0$

Étape 3.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6} = 0$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{x}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{6} = 0$

Étape 3.4.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Étape 3.6

Pour écrire $x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x^{2} \cdot \frac{6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Étape 3.7

Associez $x^{2}$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Étape 3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3 + 1}{6} = 0$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6 x^{2} - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} = 0$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(6 x^{2} - 1 \cdot (2 x)) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 x (3 x - 1) - (3 x - 1)}{6} = 0$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$\frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} = 0$

Étape 5

Développez $(3 x - 1) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)}{6} = 0$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)}{6} = 0$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Étape 6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 \cdot (2 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 \cdot (2 x^{2}) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Étape 6.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Étape 6.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x - 2 x - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Étape 6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x - 2 x + 1}{6} = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $2 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{6 x^{2} - 5 x + 1}{6} = 0$

Étape 7

Divisez la fraction $\frac{6 x^{2} - 5 x + 1}{6}$ en deux fractions.

$\frac{6 x^{2} - 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Étape 8

Divisez la fraction $\frac{6 x^{2} - 5 x}{6}$ en deux fractions.

$\frac{6 x^{2}}{6} + \frac{- 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x^{2}}{6} + \frac{- 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Étape 9.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{- 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} - \frac{5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Étape 11

L’équation quadratique standard en utilisant l’ensemble de solutions donné ${\frac{1}{2}, \frac{1}{3}}$ est $y = x^{2} - \frac{5 x}{6} + \frac{1}{6}$ .

$y = x^{2} - \frac{5 x}{6} + \frac{1}{6}$

Étape 12