Algèbre Exemples

$f (x) = x^{3} (x - 2) {(x + 1)}^{3}$

Étape 1

Simplifiez et remettez le polynôme dans l’ordre.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{3} x + x^{3} \cdot - 2) {(x + 1)}^{3}$

Étape 1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 1.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot - 2) {(x + 1)}^{3}$

Étape 1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 2) {(x + 1)}^{3}$

Étape 1.2.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$(x^{4} + x^{3} \cdot - 2) {(x + 1)}^{3}$

Étape 1.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{3}$ .

$(x^{4} - 2 \cdot x^{3}) {(x + 1)}^{3}$

Étape 1.4

Utilisez le théorème du binôme.

$(x^{4} - 2 x^{3}) (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3})$

Étape 1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$(x^{4} - 2 x^{3}) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3})$

Étape 1.5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(x^{4} - 2 x^{3}) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3})$

Étape 1.5.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$(x^{4} - 2 x^{3}) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3})$

Étape 1.5.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(x^{4} - 2 x^{3}) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)$

Étape 1.6

Développez $(x^{4} - 2 x^{3}) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{4} x^{3} + x^{4} (3 x^{2}) + x^{4} (3 x) + x^{4} \cdot 1 - 2 x^{3} x^{3} - 2 x^{3} (3 x^{2}) - 2 x^{3} (3 x) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7

Simplifiez les termes.

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4 + 3} + x^{4} (3 x^{2}) + x^{4} (3 x) + x^{4} \cdot 1 - 2 x^{3} x^{3} - 2 x^{3} (3 x^{2}) - 2 x^{3} (3 x) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.1.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$x^{7} + x^{4} (3 x^{2}) + x^{4} (3 x) + x^{4} \cdot 1 - 2 x^{3} x^{3} - 2 x^{3} (3 x^{2}) - 2 x^{3} (3 x) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{7} + 3 x^{4} x^{2} + x^{4} (3 x) + x^{4} \cdot 1 - 2 x^{3} x^{3} - 2 x^{3} (3 x^{2}) - 2 x^{3} (3 x) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.3

Multipliez $x^{4}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{7} + 3 (x^{2} x^{4}) + x^{4} (3 x) + x^{4} \cdot 1 - 2 x^{3} x^{3} - 2 x^{3} (3 x^{2}) - 2 x^{3} (3 x) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{7} + 3 x^{2 + 4} + x^{4} (3 x) + x^{4} \cdot 1 - 2 x^{3} x^{3} - 2 x^{3} (3 x^{2}) - 2 x^{3} (3 x) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.3.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$x^{7} + 3 x^{6} + x^{4} (3 x) + x^{4} \cdot 1 - 2 x^{3} x^{3} - 2 x^{3} (3 x^{2}) - 2 x^{3} (3 x) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{7} + 3 x^{6} + 3 x^{4} x + x^{4} \cdot 1 - 2 x^{3} x^{3} - 2 x^{3} (3 x^{2}) - 2 x^{3} (3 x) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.5

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1.5.1

Déplacez $x$ .

$x^{7} + 3 x^{6} + 3 (x \cdot x^{4}) + x^{4} \cdot 1 - 2 x^{3} x^{3} - 2 x^{3} (3 x^{2}) - 2 x^{3} (3 x) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.5.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 1.7.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{7} + 3 x^{6} + 3 (x^{1} x^{4}) + x^{4} \cdot 1 - 2 x^{3} x^{3} - 2 x^{3} (3 x^{2}) - 2 x^{3} (3 x) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{7} + 3 x^{6} + 3 x^{1 + 4} + x^{4} \cdot 1 - 2 x^{3} x^{3} - 2 x^{3} (3 x^{2}) - 2 x^{3} (3 x) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.5.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$x^{7} + 3 x^{6} + 3 x^{5} + x^{4} \cdot 1 - 2 x^{3} x^{3} - 2 x^{3} (3 x^{2}) - 2 x^{3} (3 x) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.6

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{7} + 3 x^{6} + 3 x^{5} + x^{4} - 2 x^{3} x^{3} - 2 x^{3} (3 x^{2}) - 2 x^{3} (3 x) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.7

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$x^{7} + 3 x^{6} + 3 x^{5} + x^{4} - 2 (x^{3} x^{3}) - 2 x^{3} (3 x^{2}) - 2 x^{3} (3 x) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{7} + 3 x^{6} + 3 x^{5} + x^{4} - 2 x^{3 + 3} - 2 x^{3} (3 x^{2}) - 2 x^{3} (3 x) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.7.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$x^{7} + 3 x^{6} + 3 x^{5} + x^{4} - 2 x^{6} - 2 x^{3} (3 x^{2}) - 2 x^{3} (3 x) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{7} + 3 x^{6} + 3 x^{5} + x^{4} - 2 x^{6} - 2 \cdot 3 x^{3} x^{2} - 2 x^{3} (3 x) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.9

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1.9.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{7} + 3 x^{6} + 3 x^{5} + x^{4} - 2 x^{6} - 2 \cdot 3 (x^{2} x^{3}) - 2 x^{3} (3 x) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{7} + 3 x^{6} + 3 x^{5} + x^{4} - 2 x^{6} - 2 \cdot 3 x^{2 + 3} - 2 x^{3} (3 x) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.9.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$x^{7} + 3 x^{6} + 3 x^{5} + x^{4} - 2 x^{6} - 2 \cdot 3 x^{5} - 2 x^{3} (3 x) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.10

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$x^{7} + 3 x^{6} + 3 x^{5} + x^{4} - 2 x^{6} - 6 x^{5} - 2 x^{3} (3 x) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{7} + 3 x^{6} + 3 x^{5} + x^{4} - 2 x^{6} - 6 x^{5} - 2 \cdot 3 x^{3} x - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.12

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1.12.1

Déplacez $x$ .

$x^{7} + 3 x^{6} + 3 x^{5} + x^{4} - 2 x^{6} - 6 x^{5} - 2 \cdot 3 (x \cdot x^{3}) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.12.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.7.1.12.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{7} + 3 x^{6} + 3 x^{5} + x^{4} - 2 x^{6} - 6 x^{5} - 2 \cdot 3 (x^{1} x^{3}) - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{7} + 3 x^{6} + 3 x^{5} + x^{4} - 2 x^{6} - 6 x^{5} - 2 \cdot 3 x^{1 + 3} - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.12.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$x^{7} + 3 x^{6} + 3 x^{5} + x^{4} - 2 x^{6} - 6 x^{5} - 2 \cdot 3 x^{4} - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.13

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$x^{7} + 3 x^{6} + 3 x^{5} + x^{4} - 2 x^{6} - 6 x^{5} - 6 x^{4} - 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.7.1.14

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x^{7} + 3 x^{6} + 3 x^{5} + x^{4} - 2 x^{6} - 6 x^{5} - 6 x^{4} - 2 x^{3}$

Étape 1.7.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.7.2.1

Soustrayez $2 x^{6}$ de $3 x^{6}$ .

$x^{7} + x^{6} + 3 x^{5} + x^{4} - 6 x^{5} - 6 x^{4} - 2 x^{3}$

Étape 1.7.2.2

Soustrayez $6 x^{5}$ de $3 x^{5}$ .

$x^{7} + x^{6} - 3 x^{5} + x^{4} - 6 x^{4} - 2 x^{3}$

Étape 1.7.2.3

Soustrayez $6 x^{4}$ de $x^{4}$ .

$x^{7} + x^{6} - 3 x^{5} - 5 x^{4} - 2 x^{3}$

Étape 2

Le plus grand exposant est le degré d’un polynôme.

$7$