Algèbre Exemples

$f (x) = 2 x {(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez et remettez le polynôme dans l’ordre.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$2 x ((x - 2) (x - 2)) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.2

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (x (x - 2) - 2 (x - 2)) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$2 x (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$2 x (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$2 x (x^{2} - 4 x + 4) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$(2 (x^{2} x) + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.5.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2 x^{2 + 1} + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.5.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(2 x^{3} + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(2 x^{3} + 2 \cdot - 4 x \cdot x + 2 x \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.5.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$(2 x^{3} + 2 \cdot - 4 x \cdot x + 8 x) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1.1.1

Déplacez $x$ .

$(2 x^{3} + 2 \cdot - 4 (x \cdot x) + 8 x) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.6.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(2 x^{3} + 2 \cdot - 4 x^{2} + 8 x) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.6.2

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) ((x + 1) (x + 1))$

Étape 1.7

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Étape 1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Étape 1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Étape 1.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.8.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Étape 1.8.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Étape 1.8.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Étape 1.8.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x^{2} + x + x + 1)$

Étape 1.8.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x^{2} + 2 x + 1)$

Étape 1.9

Développez $(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x^{2} + 2 x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 x^{3} x^{2} + 2 x^{3} (2 x) + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10

Simplifiez les termes.

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Étape 1.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.10.1.1

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.10.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x^{3}) + 2 x^{3} (2 x) + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2 + 3} + 2 x^{3} (2 x) + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.1.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$2 x^{5} + 2 x^{3} (2 x) + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x^{5} + 2 \cdot 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.3

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.10.1.3.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{5} + 2 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.10.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{5} + 2 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{5} + 2 \cdot 2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.3.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$2 x^{5} + 2 \cdot 2 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.6

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.10.1.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 (x^{2} x^{2}) - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2 + 2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.6.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 8 \cdot 2 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.10.1.8.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 8 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.10.1.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 8 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 8 \cdot 2 x^{1 + 2} - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 8 \cdot 2 x^{3} - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.9

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.10

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.11

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.10.1.11.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 (x^{2} x) + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.11.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.10.1.11.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 (x^{2} x^{1}) + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{2 + 1} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.11.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 8 \cdot 2 x \cdot x + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.13

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.10.1.13.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 8 \cdot 2 (x \cdot x) + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.13.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 8 \cdot 2 x^{2} + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.14

Multipliez $8$ par $2$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x \cdot 1$

Étape 1.10.1.15

Multipliez $8$ par $1$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x$

Étape 1.10.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.10.2.1

Soustrayez $8 x^{4}$ de $4 x^{4}$ .

$2 x^{5} - 4 x^{4} + 2 x^{3} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x$

Étape 1.10.2.2

Soustrayez $16 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$2 x^{5} - 4 x^{4} - 14 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x$

Étape 1.10.2.3

Additionnez $- 14 x^{3}$ et $8 x^{3}$ .

$2 x^{5} - 4 x^{4} - 6 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x^{2} + 8 x$

Étape 1.10.2.4

Additionnez $- 8 x^{2}$ et $16 x^{2}$ .

$2 x^{5} - 4 x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x$

Étape 2

Le plus grand exposant est le degré d’un polynôme.

$5$