Algèbre Exemples

$\ln (x^{4} + 27)$

Étape 1

Écrivez $\ln (x^{4} + 27)$ comme une fonction.

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{4} + 27$ .

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Étape 2.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Étape 2.1.1.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Étape 2.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4} + 27$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

Étape 2.1.1.2.3

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

Étape 2.1.1.2.4

Associez les fractions.

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Étape 2.1.1.2.4.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

Étape 2.1.1.2.4.2

Associez $4$ et $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

Étape 2.1.1.2.4.3

Associez $\frac{4}{x^{4} + 27}$ et $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{4} + 27$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Différenciez.

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Étape 2.1.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{4} + 27$ .

$4 \frac{3 \cdot (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.5

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.3.6.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.6.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.5

Associez $4$ et $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6

Simplifiez

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Étape 2.1.2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 27 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.6.4.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.6.4.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6.4.1.1.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$\frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6.4.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6.4.1.3

Multipliez $3$ par $27$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6.4.1.4

Multipliez $81$ par $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6.4.1.5

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6.4.2

Soustrayez $16 x^{6}$ de $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$

Étape 2.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 4 x^{6} + 324 x^{2} = 0$

Étape 2.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.3.1.1

Factorisez $- 4 x^{2}$ à partir de $- 4 x^{6} + 324 x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1.1.1

Factorisez $- 4 x^{2}$ à partir de $- 4 x^{6}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} + 324 x^{2} = 0$

Étape 2.2.3.1.1.2

Factorisez $- 4 x^{2}$ à partir de $324 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 81 = 0$

Étape 2.2.3.1.1.3

Factorisez $- 4 x^{2}$ à partir de $- 4 x^{2} (x^{4}) - 4 x^{2} (- 81)$ .

$- 4 x^{2} (x^{4} - 81) = 0$

Étape 2.2.3.1.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

Étape 2.2.3.1.3

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

Étape 2.2.3.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 9$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

Étape 2.2.3.1.5

Factorisez.

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Étape 2.2.3.1.5.1

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1.5.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Étape 2.2.3.1.5.1.2

Factorisez.

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Étape 2.2.3.1.5.1.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Étape 2.2.3.1.5.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 2.2.3.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 2.2.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.2.3.3

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.3.3.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.2.3.3.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.3.3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.2.3.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.2.3.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.3.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.2.3.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.2.3.4

Définissez $x^{2} + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.3.4.1

Définissez $x^{2} + 9$ égal à $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Étape 2.2.3.4.2

Résolvez $x^{2} + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.3.4.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 9$

Étape 2.2.3.4.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Étape 2.2.3.4.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Étape 2.2.3.4.2.3.1

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Étape 2.2.3.4.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (9)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Étape 2.2.3.4.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Étape 2.2.3.4.2.3.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Étape 2.2.3.4.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 3$

Étape 2.2.3.4.2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Étape 2.2.3.4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.3.4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 i$

Étape 2.2.3.4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 i$

Étape 2.2.3.4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 i, - 3 i$

Étape 2.2.3.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.3.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.2.3.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.2.3.6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.3.6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.2.3.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.2.3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Étape 3

Déterminez le domaine de $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\ln (x^{4} + 27)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{4} + 27 > 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $27$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{4} > - 27$

Étape 3.2.2

Comme le côté gauche a une puissance paire, il est toujours positif pour tous les nombres réels.

Tous les nombres réels

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f'' (- 6) = \frac{- 4 {(- 6)}^{6} + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 4 \cdot 46656 + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $46656$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 36}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $324$ par $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 11664}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 5.2.1.5

Additionnez $- 186624$ et $11664$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $- 6$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{{(1296 + 27)}^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $1296$ et $27$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{1323^{2}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $1323$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{1750329}$

Étape 5.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 174960$ et $1750329$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $729$ à partir de $- 174960$ .

$f'' (- 6) = \frac{729 (- 240)}{1750329}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $729$ à partir de $1750329$ .

$f'' (- 6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Étape 5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 6) = \frac{- 240}{2401}$

Étape 5.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 6) = - \frac{240}{2401}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $- \frac{240}{2401}$ .

$- \frac{240}{2401}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - 3)$ car $f'' (- 6)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 3, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = \frac{- 4 {(- 2)}^{6} + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $6$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 64 + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $64$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 4}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $324$ par $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 1296}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 6.2.1.5

Additionnez $- 256$ et $1296$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{{(16 + 27)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $16$ et $27$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{43^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $43$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{1849}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $\frac{1040}{1849}$ .

$\frac{1040}{1849}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 3, 0)$ car $f'' (- 2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 3, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = \frac{- 4 {(2)}^{6} + 324 {(2)}^{2}}{{({(2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$f'' (2) = \frac{- 4 \cdot 64 + 324 \cdot 2^{2}}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $64$ .

$f'' (2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 2^{2}}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 4}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $324$ par $4$ .

$f'' (2) = \frac{- 256 + 1296}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.5

Additionnez $- 256$ et $1296$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{{(16 + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $16$ et $27$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{43^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $43$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{1849}$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $\frac{1040}{1849}$ .

$\frac{1040}{1849}$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(0, 3)$ car $f'' (2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(0, 3)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f'' (6) = \frac{- 4 {(6)}^{6} + 324 {(6)}^{2}}{{({(6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $6$ .

$f'' (6) = \frac{- 4 \cdot 46656 + 324 \cdot 6^{2}}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $46656$ .

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 6^{2}}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 36}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $324$ par $36$ .

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 11664}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.5

Additionnez $- 186624$ et $11664$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Élevez $6$ à la puissance $4$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{{(1296 + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $1296$ et $27$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{1323^{2}}$

Étape 8.2.2.3

Élevez $1323$ à la puissance $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{1750329}$

Étape 8.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 174960$ et $1750329$ .

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Étape 8.2.3.1.1

Factorisez $729$ à partir de $- 174960$ .

$f'' (6) = \frac{729 (- 240)}{1750329}$

Étape 8.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.1.2.1

Factorisez $729$ à partir de $1750329$ .

$f'' (6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Étape 8.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Étape 8.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (6) = \frac{- 240}{2401}$

Étape 8.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (6) = - \frac{240}{2401}$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $- \frac{240}{2401}$ .

$- \frac{240}{2401}$

Étape 8.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(3, \infty)$ car $f'' (6)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 9

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- 3, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le haut sur $(0, 3)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 10