Algèbre Exemples

$\ln (x^{2} + 9)$

Étape 1

Écrivez $\ln (x^{2} + 9)$ comme une fonction.

$f (x) = \ln (x^{2} + 9)$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Étape 2.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Étape 2.1.1.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Étape 2.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{x^{2} + 9} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 9} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 2.1.1.2.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 9} (2 x + 0)$

Étape 2.1.1.2.4

Associez les fractions.

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Étape 2.1.1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 9} (2 x)$

Étape 2.1.1.2.4.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2} + 9}$ .

$\frac{2}{x^{2} + 9} x$

Étape 2.1.1.2.4.3

Associez $\frac{2}{x^{2} + 9}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 9}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{x^{2} + 9}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 9}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 9}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} + 9$ .

$2 \frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Différenciez.

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Étape 2.1.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.2

Multipliez $x^{2} + 9$ par $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.5

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - x (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.1.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{x^{2} + 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.1.2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.1.2.8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.1.2.9

Associez $2$ et $\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.1.2.10

Simplifiez

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Étape 2.1.2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.1.2.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.1.2.10.2.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{- 2 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- 2 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$

Étape 2.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 2 x^{2} + 18 = 0$

Étape 2.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.3.1

Soustrayez $18$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} = - 18$

Étape 2.2.3.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = - 18$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = - 18$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 18}{- 2}$

Étape 2.2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 18}{- 2}$

Étape 2.2.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 18}{- 2}$

Étape 2.2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.2.3.1

Divisez $- 18$ par $- 2$ .

$x^{2} = 9$

Étape 2.2.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 2.2.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 2.2.3.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 2.2.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 2.2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 2.2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 2.2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 3

Déterminez le domaine de $f (x) = \ln (x^{2} + 9)$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\ln (x^{2} + 9)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} + 9 > 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} > - 9$

Étape 3.2.2

Comme le côté gauche a une puissance paire, il est toujours positif pour tous les nombres réels.

Tous les nombres réels

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f'' (- 6) = \frac{- 2 {(- 6)}^{2} + 18}{{({(- 6)}^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 18}{{({(- 6)}^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 72 + 18}{{({(- 6)}^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5.2.1.3

Additionnez $- 72$ et $18$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 54}{{({(- 6)}^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 54}{{(36 + 9)}^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $36$ et $9$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 54}{45^{2}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $45$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 54}{2025}$

Étape 5.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 54$ et $2025$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $27$ à partir de $- 54$ .

$f'' (- 6) = \frac{27 (- 2)}{2025}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $27$ à partir de $2025$ .

$f'' (- 6) = \frac{27 \cdot - 2}{27 \cdot 75}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 6) = \frac{27 \cdot - 2}{27 \cdot 75}$

Étape 5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 6) = \frac{- 2}{75}$

Étape 5.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 6) = - \frac{2}{75}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $- \frac{2}{75}$ .

$- \frac{2}{75}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - 3)$ car $f'' (- 6)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 3, 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 18}{{({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 18}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 6.2.1.3

Additionnez $0$ et $18$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 9)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $0$ et $9$ .

$f'' (0) = \frac{18}{9^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f'' (0) = \frac{18}{81}$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun à $18$ et $81$ .

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Étape 6.2.3.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{81}$

Étape 6.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.2.1

Factorisez $9$ à partir de $81$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 9}$

Étape 6.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 9}$

Étape 6.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = \frac{2}{9}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 3, 3)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 3, 3)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f'' (6) = \frac{- 2 {(6)}^{2} + 18}{{({(6)}^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 18}{{(6^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $36$ .

$f'' (6) = \frac{- 72 + 18}{{(6^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3

Additionnez $- 72$ et $18$ .

$f'' (6) = \frac{- 54}{{(6^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 54}{{(36 + 9)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $36$ et $9$ .

$f'' (6) = \frac{- 54}{45^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $45$ à la puissance $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 54}{2025}$

Étape 7.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 54$ et $2025$ .

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Étape 7.2.3.1.1

Factorisez $27$ à partir de $- 54$ .

$f'' (6) = \frac{27 (- 2)}{2025}$

Étape 7.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.1.2.1

Factorisez $27$ à partir de $2025$ .

$f'' (6) = \frac{27 \cdot - 2}{27 \cdot 75}$

Étape 7.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (6) = \frac{27 \cdot - 2}{27 \cdot 75}$

Étape 7.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (6) = \frac{- 2}{75}$

Étape 7.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (6) = - \frac{2}{75}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- \frac{2}{75}$ .

$- \frac{2}{75}$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(3, \infty)$ car $f'' (6)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- 3, 3)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 9