Algèbre Exemples

$\frac{f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6}{h}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6$ et $g (x) = h$ .

$\frac{h \frac{d}{d x} [f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 2

Réécrivez ${(x - 6)}^{2}$ comme $(x - 6) (x - 6)$ .

$\frac{h \frac{d}{d x} [f ((x - 6) (x - 6)) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 3

Développez $(x - 6) (x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h \frac{d}{d x} [f (x (x - 6) - 6 (x - 6)) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h \frac{d}{d x} [f (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h \frac{d}{d x} [f (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{h \frac{d}{d x} [f (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 4.1.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$\frac{h \frac{d}{d x} [f (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$\frac{h \frac{d}{d x} [f (x^{2} - 6 x - 6 x + 36) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 4.2

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{h \frac{d}{d x} [f (x^{2} - 12 x + 36) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $f (x^{2} - 12 x + 36) + h - x^{2} - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [f (x^{2} - 12 x + 36)] + \frac{d}{d x} [h] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{h (\frac{d}{d x} [f (x^{2} - 12 x + 36)] + \frac{d}{d x} [h] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 6

Évaluez $\frac{d}{d x} [f (x^{2} - 12 x + 36)]$ .

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Étape 6.1

Comme $f$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $f (x^{2} - 12 x + 36)$ par rapport à $x$ est $f \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]$ .

$\frac{h (f \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36] + \frac{d}{d x} [h] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 12 x + 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{h (f (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]) + \frac{d}{d x} [h] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{h (f (2 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]) + \frac{d}{d x} [h] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 6.4

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{h (f (2 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [36]) + \frac{d}{d x} [h] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 6.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{h (f (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [36]) + \frac{d}{d x} [h] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 6.6

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{h (f (2 x - 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [h] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 6.7

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$\frac{h (f (2 x - 12 + 0) + \frac{d}{d x} [h] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 6.8

Additionnez $2 x - 12$ et $0$ .

$\frac{h (f (2 x - 12) + \frac{d}{d x} [h] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 7

Comme $h$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $h$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{h (f (2 x - 12) + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{h (f (2 x - 12) + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{h (f (2 x - 12) + 0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 8.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{h (f (2 x - 12) + 0 - 2 x + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 9

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{h (f (2 x - 12) + 0 - 2 x + 0) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h (f (2 x) + f \cdot - 12 + 0 - 2 x + 0) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 10.2

Associez des termes.

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Étape 10.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $f$ .

$\frac{h (2 \cdot f x + f \cdot - 12 + 0 - 2 x + 0) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 10.2.2

Déplacez $- 12$ à gauche de $f$ .

$\frac{h (2 f x - 12 \cdot f + 0 - 2 x + 0) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 10.2.3

Additionnez $2 f x - 12 f$ et $0$ .

$\frac{h (2 f x - 12 f - 2 x + 0) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 10.2.4

Additionnez $2 f x - 12 f - 2 x$ et $0$ .

$\frac{h (2 f x - 12 f - 2 x) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Étape 11

Comme $h$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $h$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{h (2 f x - 12 f - 2 x) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h (2 f x) + h (- 12 f) + h (- 2 x) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h (2 f x) + h (- 12 f) + h (- 2 x) + (- (f {(x - 6)}^{2}) - h - - x^{2} - - 6) \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h (2 f x) + h (- 12 f) + h (- 2 x) - (f {(x - 6)}^{2}) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 h f x + h (- 12 f) + h (- 2 x) - (f {(x - 6)}^{2}) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 h f x - 12 h f + h (- 2 x) - (f {(x - 6)}^{2}) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f {(x - 6)}^{2}) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.4

Réécrivez ${(x - 6)}^{2}$ comme $(x - 6) (x - 6)$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f ((x - 6) (x - 6))) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.5

Développez $(x - 6) (x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 12.4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f (x (x - 6) - 6 (x - 6))) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6))) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 12.4.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.4.1.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.6.1.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6)) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.6.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f (x^{2} - 6 x - 6 x + 36)) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.6.2

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f (x^{2} - 12 x + 36)) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f x^{2} + f (- 12 x) + f \cdot 36) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.8

Simplifiez

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Étape 12.4.1.8.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f x^{2} - 12 f x + f \cdot 36) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.8.2

Déplacez $36$ à gauche de $f$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f x^{2} - 12 f x + 36 \cdot f) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + (- (f x^{2}) - (- 12 f x) - (36 f)) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.10

Simplifiez

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Étape 12.4.1.10.1

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + (- f x^{2} + 12 (f x) - (36 f)) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.10.2

Multipliez $36$ par $- 1$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + (- f x^{2} + 12 (f x) - 36 f) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.11

Multipliez $- f x^{2} + 12 f x - 36 f$ par $0$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.12

Multipliez $- h \cdot 0$ .

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Étape 12.4.1.12.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 + 0 h - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.12.2

Multipliez $0$ par $h$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 + 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.13

Multipliez $- - x^{2}$ .

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Étape 12.4.1.13.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 + 0 + 1 x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.13.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 + 0 + x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.14

Multipliez $x^{2}$ par $0$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 + 0 + 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.15

Multipliez $- - 6 \cdot 0$ .

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Étape 12.4.1.15.1

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 + 0 + 0 + 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.1.15.2

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 + 0 + 0 + 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.2

Associez les termes opposés dans $2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 + 0 + 0 + 0$ .

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Étape 12.4.2.1

Additionnez $2 h f x - 12 h f - 2 h x$ et $0$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 + 0 + 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.2.2

Additionnez $2 h f x - 12 h f - 2 h x$ et $0$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 + 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.2.3

Additionnez $2 h f x - 12 h f - 2 h x$ et $0$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0}{h^{2}}$

Étape 12.4.2.4

Additionnez $2 h f x - 12 h f - 2 h x$ et $0$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x}{h^{2}}$

Étape 12.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 f h x - 12 f h - 2 h x}{h^{2}}$

Étape 12.6

Factorisez $2 h$ à partir de $2 f h x - 12 f h - 2 h x$ .

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Étape 12.6.1

Factorisez $2 h$ à partir de $2 f h x$ .

$\frac{2 h (f x) - 12 f h - 2 h x}{h^{2}}$

Étape 12.6.2

Factorisez $2 h$ à partir de $- 12 f h$ .

$\frac{2 h (f x) + 2 h (- 6 f) - 2 h x}{h^{2}}$

Étape 12.6.3

Factorisez $2 h$ à partir de $- 2 h x$ .

$\frac{2 h (f x) + 2 h (- 6 f) + 2 h (- x)}{h^{2}}$

Étape 12.6.4

Factorisez $2 h$ à partir de $2 h (f x) + 2 h (- 6 f)$ .

$\frac{2 h (f x - 6 f) + 2 h (- x)}{h^{2}}$

Étape 12.6.5

Factorisez $2 h$ à partir de $2 h (f x - 6 f) + 2 h (- x)$ .

$\frac{2 h (f x - 6 f - x)}{h^{2}}$

Étape 12.7

Annulez le facteur commun à $h$ et $h^{2}$ .

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Étape 12.7.1

Factorisez $h$ à partir de $2 h (f x - 6 f - x)$ .

$\frac{h (2 (f x - 6 f - x))}{h^{2}}$

Étape 12.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.7.2.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{2}$ .

$\frac{h (2 (f x - 6 f - x))}{h \cdot h}$

Étape 12.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (2 (f x - 6 f - x))}{h \cdot h}$

Étape 12.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (f x - 6 f - x)}{h}$