Algèbre Exemples

$\frac{f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6}{h}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d h} [\frac{f (h)}{g (h)}]$ est $\frac{g (h) \frac{d}{d h} [f (h)] - f (h) \frac{d}{d h} [g (h)]}{{g (h)}^{2}}$ où $f (h) = f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6$ et $g (h) = h$ .

$\frac{h \frac{d}{d h} [f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 2

Réécrivez ${(x - 6)}^{2}$ comme $(x - 6) (x - 6)$ .

$\frac{h \frac{d}{d h} [f ((x - 6) (x - 6)) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 3

Développez $(x - 6) (x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h \frac{d}{d h} [f (x (x - 6) - 6 (x - 6)) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h \frac{d}{d h} [f (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h \frac{d}{d h} [f (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{h \frac{d}{d h} [f (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 4.1.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$\frac{h \frac{d}{d h} [f (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$\frac{h \frac{d}{d h} [f (x^{2} - 6 x - 6 x + 36) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 4.2

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{h \frac{d}{d h} [f (x^{2} - 12 x + 36) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $f (x^{2} - 12 x + 36) + h - x^{2} - 6$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [f (x^{2} - 12 x + 36)] + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- x^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6]$ .

$\frac{h (\frac{d}{d h} [f (x^{2} - 12 x + 36)] + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- x^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 6

Comme $f (x^{2} - 12 x + 36)$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $f (x^{2} - 12 x + 36)$ par rapport à $h$ est $0$ .

$\frac{h (0 + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- x^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{h (0 + 1 + \frac{d}{d h} [- x^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 8

Comme $- x^{2}$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $h$ est $0$ .

$\frac{h (0 + 1 + 0 + \frac{d}{d h} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 9

Comme $- 6$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $h$ est $0$ .

$\frac{h (0 + 1 + 0 + 0) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 10

Associez des termes.

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Étape 10.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{h (1 + 0 + 0) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 10.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{h (1 + 0) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 10.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{h \cdot 1 - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{h \cdot 1 - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h \cdot 1 + (- (f {(x - 6)}^{2}) - h - - x^{2} - - 6) \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h \cdot 1 - (f {(x - 6)}^{2}) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.3.1.1

Multipliez $h$ par $1$ .

$\frac{h - (f {(x - 6)}^{2}) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3.1.2

Réécrivez ${(x - 6)}^{2}$ comme $(x - 6) (x - 6)$ .

$\frac{h - (f ((x - 6) (x - 6))) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3.1.3

Développez $(x - 6) (x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 12.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h - (f (x (x - 6) - 6 (x - 6))) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h - (f (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6))) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h - (f (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 12.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.3.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{h - (f (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3.1.4.1.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$\frac{h - (f (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6)) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3.1.4.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$\frac{h - (f (x^{2} - 6 x - 6 x + 36)) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3.1.4.2

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{h - (f (x^{2} - 12 x + 36)) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h - (f x^{2} + f (- 12 x) + f \cdot 36) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3.1.6

Simplifiez

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Étape 12.3.1.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{h - (f x^{2} - 12 f x + f \cdot 36) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3.1.6.2

Déplacez $36$ à gauche de $f$ .

$\frac{h - (f x^{2} - 12 f x + 36 \cdot f) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h + (- (f x^{2}) - (- 12 f x) - (36 f)) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3.1.8

Simplifiez

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Étape 12.3.1.8.1

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$\frac{h + (- f x^{2} + 12 (f x) - (36 f)) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3.1.8.2

Multipliez $36$ par $- 1$ .

$\frac{h + (- f x^{2} + 12 (f x) - 36 f) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3.1.9

Multipliez $- f x^{2} + 12 f x - 36 f$ par $1$ .

$\frac{h - f x^{2} + 12 f x - 36 f - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3.1.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{h - f x^{2} + 12 f x - 36 f - h - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3.1.11

Multipliez $- - x^{2}$ .

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Étape 12.3.1.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{h - f x^{2} + 12 f x - 36 f - h + 1 x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3.1.11.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{h - f x^{2} + 12 f x - 36 f - h + x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3.1.12

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{h - f x^{2} + 12 f x - 36 f - h + x^{2} - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3.1.13

Multipliez $- - 6 \cdot 1$ .

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Étape 12.3.1.13.1

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$\frac{h - f x^{2} + 12 f x - 36 f - h + x^{2} + 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Étape 12.3.1.13.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{h - f x^{2} + 12 f x - 36 f - h + x^{2} + 6}{h^{2}}$

Étape 12.3.2

Associez les termes opposés dans $h - f x^{2} + 12 f x - 36 f - h + x^{2} + 6$ .

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Étape 12.3.2.1

Soustrayez $h$ de $h$ .

$\frac{- f x^{2} + 12 f x - 36 f + 0 + x^{2} + 6}{h^{2}}$

Étape 12.3.2.2

Additionnez $- f x^{2} + 12 f x - 36 f$ et $0$ .

$\frac{- f x^{2} + 12 f x - 36 f + x^{2} + 6}{h^{2}}$

Étape 12.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} - x^{2} f + 12 f x - 36 f + 6}{h^{2}}$