Algèbre Exemples

$\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} \div \frac{2}{y} - \frac{1}{x}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} \div \frac{2}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} \div \frac{2}{y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\frac{2}{y}}{\frac{2}{y}}$ .

$\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} \div \frac{2}{y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{2}{y}}{\frac{2}{y}}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\frac{2}{y} x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} \div \frac{2}{y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x}{\frac{2}{y} x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{2}{y}}{\frac{2}{y}}$

Étape 3.2

Associez $\frac{2}{y}$ et $x$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x}{\frac{2 x}{y}} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{2}{y}}{\frac{2}{y}}$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{\frac{2}{y}}{\frac{2}{y}}$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x}{\frac{2 x}{y}} - \frac{\frac{2}{y}}{x \frac{2}{y}}$

Étape 3.4

Associez $x$ et $\frac{2}{y}$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x}{\frac{2 x}{y}} - \frac{\frac{2}{y}}{\frac{x \cdot 2}{y}}$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x}{\frac{2 x}{y}} - \frac{\frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x - \frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x - \frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$ en forme factorisée.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x (y)} x - \frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x - \frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{y} - \frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{\frac{{(2 x)}^{2} - y^{2}}{y} - \frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ où $a = 2 x$ et $i = y$ .

$\frac{\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{y} - \frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{(2 x + y) (2 x - y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5.4

Réécrivez $\frac{(2 x + y) (2 x - y) - 2}{y}$ en forme factorisée.

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Étape 5.4.1

Développez $(2 x + y) (2 x - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 x (2 x - y) + y (2 x - y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5.4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 x (2 x) + 2 x (- y) + y (2 x - y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 x (2 x) + 2 x (- y) + y (2 x) + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5.4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (- y) + y (2 x) + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (- y) + y (2 x) + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5.4.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (- y) + y (2 x) + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5.4.2.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} + 2 x (- y) + y (2 x) + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5.4.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x y + y (2 x) + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5.4.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 2 x y + y (2 x) + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5.4.2.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{4 x^{2} - 2 x y + 2 y x + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5.4.2.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{4 x^{2} - 2 x y + 2 y x - y \cdot y - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5.4.2.1.8

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.2.1.8.1

Déplacez $y$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 2 x y + 2 y x - (y \cdot y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5.4.2.1.8.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 2 x y + 2 y x - y^{2} - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5.4.2.2

Additionnez $- 2 x y$ et $2 y x$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 2 x y + 2 x y - y^{2} - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5.4.2.2.2

Additionnez $- 2 x y$ et $2 x y$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} + 0 - y^{2} - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Étape 5.4.2.3

Additionnez $4 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2} - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$