Algèbre Exemples

${(\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))}^{3}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{π}{4}))}^{3}$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 1.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 2

Utilisez le théorème du binôme.

${(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{\sqrt{8}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.2.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.2.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{8} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2})}{8} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2^{1}}{2^{2}} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2}{2^{2}} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 (\frac{2}{4}) \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.8

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2 (1)}{4} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 (\frac{1}{2}) \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.9

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.10

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.10.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 (i \sqrt{2})}{2 \cdot 2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 (i \sqrt{2})}{4} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.11

Associez $3$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.12

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.12.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{{(i \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.12.2

Appliquez la règle de produit à $i \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.13

Associez.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2} (i^{2} {\sqrt{2}}^{2})}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.14

Multipliez $\sqrt{2}$ par ${\sqrt{2}}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.14.1

Déplacez ${\sqrt{2}}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 ({\sqrt{2}}^{2} \sqrt{2}) i^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.14.2

Multipliez ${\sqrt{2}}^{2}$ par $\sqrt{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.14.2.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 ({\sqrt{2}}^{2} {\sqrt{2}}^{1}) i^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.14.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 {\sqrt{2}}^{2 + 1} i^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.14.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.15

Multipliez $2$ par $2^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.15.1

Multipliez $2$ par $2^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.15.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.15.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2}}{2^{1 + 2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.15.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.16

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.16.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2^{3}} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.16.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{8} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.16.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.16.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{4 (2)} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.16.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.16.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 (2 \sqrt{2}) i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.16.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.16.6

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.16.6.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{6 \sqrt{2} \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.16.6.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{- 6 \sqrt{2}}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.17

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{- 6 \sqrt{2}}{8} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.18

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.18.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{2 (- 3 \sqrt{2})}{8} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.18.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{2 (- 3 \sqrt{2})}{2 (4)} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{2 (- 3 \sqrt{2})}{2 \cdot 4} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{- 3 \sqrt{2}}{4} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Étape 3.1.20

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.20.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{{(i \sqrt{2})}^{3}}{2^{3}}$

Étape 3.1.20.2

Appliquez la règle de produit à $i \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{i^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}$

Étape 3.1.21

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.21.1

Factorisez $i^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{i^{2} \cdot i {\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}$

Étape 3.1.21.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- 1 \cdot i {\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}$

Étape 3.1.21.3

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- i {\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}$

Étape 3.1.21.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- i \sqrt{2^{3}}}{2^{3}}$

Étape 3.1.21.5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- i \sqrt{8}}{2^{3}}$

Étape 3.1.21.6

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.21.6.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- i \sqrt{4 (2)}}{2^{3}}$

Étape 3.1.21.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- i \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}$

Étape 3.1.21.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- i \cdot 2 \sqrt{2}}{2^{3}}$

Étape 3.1.21.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- 2 i \sqrt{2}}{2^{3}}$

Étape 3.1.22

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- 2 i \sqrt{2}}{8}$

Étape 3.1.23

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.23.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 i \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{2 (- i \sqrt{2})}{8}$

Étape 3.1.23.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.23.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{2 (- i \sqrt{2})}{2 (4)}$

Étape 3.1.23.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{2 (- i \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.23.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- i \sqrt{2}}{4}$

Étape 3.1.24

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{4}$

Étape 3.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2} + 3 i \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $3 \sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{3 i \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

Étape 3.2.3

Soustrayez $i \sqrt{2}$ de $3 i \sqrt{2}$ .

$\frac{2 i \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{4}$

Étape 3.2.4

Remettez dans l’ordre $2 i \sqrt{2}$ et $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}{4}$

Étape 3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{- (2 \sqrt{2}) + 2 i \sqrt{2}}{4}$

Étape 3.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $2 i \sqrt{2}$ .

$\frac{- (2 \sqrt{2}) - (- 2 i \sqrt{2})}{4}$

Étape 3.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 \sqrt{2}) - (- 2 i \sqrt{2})$ .

$\frac{- (2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2})}{4}$

Étape 3.2.8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.8.1

Réécrivez $- (2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2})$ comme $- 1 (2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2})$ .

$\frac{- 1 (2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2})}{4}$

Étape 3.2.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}{4}$

Étape 4

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 5

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 6

Remplacez les valeurs réelles de $a = 0$ et $b = - \frac{1}{4}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1}{4})}^{2}}$

Étape 7

Déterminez $| z |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{4}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}}$

Étape 7.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{1 {(\frac{1}{4})}^{2}}$

Étape 7.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1^{2}}{4^{2}})}$

Étape 7.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1}{4^{2}})}$

Étape 7.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1}{16})}$

Étape 7.6

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{16}}$

Étape 7.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{16}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$

Étape 7.8

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{16}}$

Étape 7.9

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.9.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Étape 7.9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = \frac{1}{4}$

Étape 8

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1}{4}}{0})$

Étape 9

Comme l’argument est indéfini et $b$ est négatif, l’angle du point sur le plan complexe est $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Étape 10

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{3 π}{2}$ et $| z | = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))}$