Algèbre Exemples

$[\begin{array}{c} \frac{40}{13} & \frac{70}{13} \\ \frac{28}{13} & \frac{140}{13} \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{40}{13} \cdot \frac{140}{13} - \frac{28}{13} \cdot \frac{70}{13}$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Multipliez $\frac{40}{13} \cdot \frac{140}{13}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Multipliez $\frac{40}{13}$ par $\frac{140}{13}$ .

$\frac{40 \cdot 140}{13 \cdot 13} - \frac{28}{13} \cdot \frac{70}{13}$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez $40$ par $140$ .

$\frac{5600}{13 \cdot 13} - \frac{28}{13} \cdot \frac{70}{13}$

Étape 2.2.1.1.3

Multipliez $13$ par $13$ .

$\frac{5600}{169} - \frac{28}{13} \cdot \frac{70}{13}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- \frac{28}{13} \cdot \frac{70}{13}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.1

Multipliez $\frac{70}{13}$ par $\frac{28}{13}$ .

$\frac{5600}{169} - \frac{70 \cdot 28}{13 \cdot 13}$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $70$ par $28$ .

$\frac{5600}{169} - \frac{1960}{13 \cdot 13}$

Étape 2.2.1.2.3

Multipliez $13$ par $13$ .

$\frac{5600}{169} - \frac{1960}{169}$

Étape 2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5600 - 1960}{169}$

Étape 2.2.3

Soustrayez $1960$ de $5600$ .

$\frac{3640}{169}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun à $3640$ et $169$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Factorisez $13$ à partir de $3640$ .

$\frac{13 (280)}{169}$

Étape 2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.1

Factorisez $13$ à partir de $169$ .

$\frac{13 \cdot 280}{13 \cdot 13}$

Étape 2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{13 \cdot 280}{13 \cdot 13}$

Étape 2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{280}{13}$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{280}{13}} [\begin{array}{c} \frac{140}{13} & - \frac{70}{13} \\ - \frac{28}{13} & \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 (\frac{13}{280}) [\begin{array}{c} \frac{140}{13} & - \frac{70}{13} \\ - \frac{28}{13} & \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $\frac{13}{280}$ par $1$ .

$\frac{13}{280} [\begin{array}{c} \frac{140}{13} & - \frac{70}{13} \\ - \frac{28}{13} & \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 7

Multipliez $\frac{13}{280}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{13}{280} \cdot \frac{140}{13} & \frac{13}{280} (- \frac{70}{13}) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Annulez le facteur commun de $13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{13}{280} \cdot \frac{140}{13} & \frac{13}{280} (- \frac{70}{13}) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.1.2

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{280} \cdot 140 & \frac{13}{280} (- \frac{70}{13}) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $140$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Factorisez $140$ à partir de $280$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{140 (2)} \cdot 140 & \frac{13}{280} (- \frac{70}{13}) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{140 \cdot 2} \cdot 140 & \frac{13}{280} (- \frac{70}{13}) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.2.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{13}{280} (- \frac{70}{13}) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun de $13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{70}{13}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{13}{280} \cdot \frac{- 70}{13} \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{13}{280} \cdot \frac{- 70}{13} \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.3.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{280} \cdot - 70 \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun de $70$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Factorisez $70$ à partir de $280$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{70 (4)} \cdot - 70 \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.4.2

Factorisez $70$ à partir de $- 70$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{70 \cdot 4} \cdot (70 \cdot - 1) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.4.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{70 \cdot 4} \cdot (70 \cdot - 1) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.4.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \cdot - 1 \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{- 1}{4} \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.7

Annulez le facteur commun de $13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{28}{13}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{13}{280} \cdot \frac{- 28}{13} & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.7.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{13}{280} \cdot \frac{- 28}{13} & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.7.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{280} \cdot - 28 & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.8

Annulez le facteur commun de $28$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.8.1

Factorisez $28$ à partir de $280$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{28 (10)} \cdot - 28 & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.8.2

Factorisez $28$ à partir de $- 28$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{28 \cdot 10} \cdot (28 \cdot - 1) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.8.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{28 \cdot 10} \cdot (28 \cdot - 1) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.8.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{10} \cdot - 1 & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.9

Associez $\frac{1}{10}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{- 1}{10} & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{10} & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.11

Annulez le facteur commun de $13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.11.1

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{10} & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Étape 8.11.2

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{10} & \frac{1}{280} \cdot 40 \end{array}]$

Étape 8.12

Annulez le facteur commun de $40$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.12.1

Factorisez $40$ à partir de $280$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{10} & \frac{1}{40 (7)} \cdot 40 \end{array}]$

Étape 8.12.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{10} & \frac{1}{40 \cdot 7} \cdot 40 \end{array}]$

Étape 8.12.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{10} & \frac{1}{7} \end{array}]$