Algèbre Exemples

$0.3 {(4)}^{x}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 0.3 {(4)}^{y}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $0.3 \cdot 4^{y} = x$ .

$0.3 \cdot 4^{y} = x$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $0.3 \cdot 4^{y} = x$ par $0.3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $0.3 \cdot 4^{y} = x$ par $0.3$ .

$\frac{0.3 \cdot 4^{y}}{0.3} = \frac{x}{0.3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.3$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.3 \cdot 4^{y}}{0.3} = \frac{x}{0.3}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $4^{y}$ par $1$ .

$4^{y} = \frac{x}{0.3}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Multipliez par $1$ .

$4^{y} = \frac{1 x}{0.3}$

Étape 2.2.3.2

Factorisez $0.3$ à partir de $0.3$ .

$4^{y} = \frac{1 x}{0.3 (1)}$

Étape 2.2.3.3

Séparez les fractions.

$4^{y} = \frac{1}{0.3} \cdot \frac{x}{1}$

Étape 2.2.3.4

Divisez $1$ par $0.3$ .

$4^{y} = 3.\overline{3} \frac{x}{1}$

Étape 2.2.3.5

Divisez $x$ par $1$ .

$4^{y} = 3.\overline{3} x$

Étape 2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (4^{y}) = \ln (3.\overline{3} x)$

Étape 2.4

Développez $\ln (4^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (4) = \ln (3.\overline{3} x)$

Étape 2.5

Divisez chaque terme dans $y \ln (4) = \ln (3.\overline{3} x)$ par $\ln (4)$ et simplifiez.

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Étape 2.5.1

Divisez chaque terme dans $y \ln (4) = \ln (3.\overline{3} x)$ par $\ln (4)$ .

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (4)$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}$

Étape 2.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}$ est l’inverse de $f (x) = 0.3 {(4)}^{x}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (0.3 {(4)}^{x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (0.3 {(4)}^{x}) = \frac{\ln (3.\overline{3} (0.3 {(4)}^{x}))}{\ln (4)}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $3.\overline{3}$ par $0.3$ .

$f^{- 1} (0.3 {(4)}^{x}) = \frac{\ln (1 \cdot 4^{x})}{\ln (4)}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $4^{x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (0.3 {(4)}^{x}) = \frac{\ln (4^{x})}{\ln (4)}$

Étape 4.2.4

Développez $\ln (4^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$f^{- 1} (0.3 {(4)}^{x}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $\ln (4)$ .

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Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (0.3 {(4)}^{x}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Étape 4.2.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (0.3 {(4)}^{x}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}) = 0.3 {(4)}^{\frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}}$

Étape 4.3.3

Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}) = 0.3 \cdot 4^{\log_{4} (3.\overline{3} x)}$

Étape 4.3.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}) = 0.3 \cdot (3.\overline{3} x)$

Étape 4.3.5

Multipliez $0.3 (3.\overline{3} x)$ .

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $3.\overline{3}$ par $0.3$ .

$f (\frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}) = 1 x$

Étape 4.3.5.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}$ est l’inverse de $f (x) = 0.3 {(4)}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}$