Algèbre Exemples

$\frac{36^{x}}{6^{x}}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{36^{y}}{6^{y}}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{36^{y}}{6^{y}} = x$ .

$\frac{36^{y}}{6^{y}} = x$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés par $6^{y}$ .

$\frac{36^{y}}{6^{y}} \cdot 6^{y} = x \cdot 6^{y}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $6^{y}$ .

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{36^{y}}{6^{y}} \cdot 6^{y} = x \cdot 6^{y}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$36^{y} = x \cdot 6^{y}$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (36^{y}) = \ln (x \cdot 6^{y})$

Étape 2.4.2

Développez $\ln (36^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (36) = \ln (x \cdot 6^{y})$

Étape 2.4.3

Réécrivez $\ln (x \cdot 6^{y})$ comme $\ln (x) + \ln (6^{y})$ .

$y \ln (36) = \ln (x) + \ln (6^{y})$

Étape 2.4.4

Développez $\ln (6^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (36) = \ln (x) + y \ln (6)$

Étape 2.4.5

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 2.4.5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$y \ln (36) - \ln (x) - y \ln (6) = 0$

Étape 2.4.5.2

Ajoutez $\ln (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$y \ln (36) - y \ln (6) = \ln (x)$

Étape 2.4.5.3

Factorisez $y$ à partir de $y \ln (36) - y \ln (6)$ .

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Étape 2.4.5.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y \ln (36)$ .

$y (\ln (36)) - y \ln (6) = \ln (x)$

Étape 2.4.5.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- y \ln (6)$ .

$y (\ln (36)) + y (- 1 \ln (6)) = \ln (x)$

Étape 2.4.5.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (\ln (36)) + y (- 1 \ln (6))$ .

$y (\ln (36) - 1 \ln (6)) = \ln (x)$

Étape 2.4.5.4

Réécrivez $- 1 \ln (6)$ comme $- \ln (6)$ .

$y (\ln (36) - \ln (6)) = \ln (x)$

Étape 2.4.5.5

Divisez chaque terme dans $y (\ln (36) - \ln (6)) = \ln (x)$ par $\ln (36) - \ln (6)$ et simplifiez.

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Étape 2.4.5.5.1

Divisez chaque terme dans $y (\ln (36) - \ln (6)) = \ln (x)$ par $\ln (36) - \ln (6)$ .

$\frac{y (\ln (36) - \ln (6))}{\ln (36) - \ln (6)} = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$

Étape 2.4.5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (36) - \ln (6)$ .

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Étape 2.4.5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (\ln (36) - \ln (6))}{\ln (36) - \ln (6)} = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$

Étape 2.4.5.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{36^{x}}{6^{x}}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln (\frac{36^{x}}{6^{x}})}{\ln (36) - \ln (6)}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

Utilisez la règle de la puissance d’un quotient $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln ({(\frac{36}{6})}^{x})}{\ln (36) - \ln (6)}$

Étape 4.2.3.2

Divisez $36$ par $6$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln (6^{x})}{\ln (36) - \ln (6)}$

Étape 4.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.4.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln (6^{x})}{\ln (\frac{36}{6})}$

Étape 4.2.4.2

Divisez $36$ par $6$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln (6^{x})}{\ln (6)}$

Étape 4.2.5

Développez $\ln (6^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{x \ln (6)}{\ln (6)}$

Étape 4.2.6

Annulez le facteur commun de $\ln (6)$ .

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Étape 4.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{x \ln (6)}{\ln (6)}$

Étape 4.2.6.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}}}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.3.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{36}{6})}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}}}$

Étape 4.3.3.2

Divisez $36$ par $6$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}}}$

Étape 4.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.4.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{36}{6})}}}$

Étape 4.3.4.2

Divisez $36$ par $6$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.5.1

Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{6^{\log_{6} (x)}}$

Étape 4.3.5.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{x}$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{36^{x}}{6^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$