Algèbre Exemples

$g (x) = \sqrt{x + 5}$ , $x \geq - 5$

Étape 1

Déterminez la plage de la fonction donnée.

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Étape 1.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

$[0, \infty)$

Étape 1.2

Convertissez $[0, \infty)$ en une inégalité.

$y \geq 0$

Étape 2

Déterminez l’inverse.

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Étape 2.1

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{y + 5}$

Étape 2.2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{y + 5} = x$ .

$\sqrt{y + 5} = x$

Étape 2.2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y + 5}}^{2} = x^{2}$

Étape 2.2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y + 5}$ comme ${(y + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.3.2.1

Simplifiez ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 2.2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 2.2.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 5)}^{1} = x^{2}$

Étape 2.2.3.2.1.2

Simplifiez

$y + 5 = x^{2}$

Étape 2.2.4

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$y = x^{2} - 5$

Étape 2.3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$

Étape 3

Déterminez l’inverse en utilisant le domaine et la plage de la fonction d’origine.

$g^{- 1} (x) = x^{2} - 5, x \geq 0$

Étape 4