Algèbre Exemples

$z = x^{y} + \ln (x y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (x^{y} + \ln (x y))$

Étape 2

La dérivée de $z$ par rapport à $x$ est $z'$ .

$z'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{y} + \ln (x y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \cdot 1)$

Étape 3.2.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} y$

Étape 3.2.5

Associez $\frac{1}{x y}$ et $y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

Étape 3.2.6

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

Étape 3.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Associez des termes.

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Étape 3.3.1.1

Pour écrire $y x^{y - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y x^{y - 1} x}{x} + \frac{1}{x}$

Étape 3.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y x^{y - 1} x + 1}{x}$

Étape 3.3.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{y (x^{1} x^{y - 1}) + 1}{x}$

Étape 3.3.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y x^{1 + y - 1} + 1}{x}$

Étape 3.3.1.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{y x^{y + 0} + 1}{x}$

Étape 3.3.1.6

Additionnez $y$ et $0$ .

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

Étape 3.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{y} y + 1}{x}$

Étape 3.3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{x^{y} y + 1}{x}$ .

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$z' = \frac{y x^{y} + 1}{x}$

Étape 5

Remplacez $z'$ par $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{y x^{y} + 1}{x}$