Algèbre Exemples

$x e^{2 y} + y = 4$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (x e^{2 y} + y) = \frac{d}{d y} (4)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x e^{2 y} + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x e^{2 y}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x e^{2 y}] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [x e^{2 y}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = e^{2 y}$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{2 y}] + e^{2 y} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = 2 y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 y]) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [2 y]) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y$ .

$x (e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.5

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + e^{2 y} x' + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$x (e^{2 y} \cdot 2) + e^{2 y} x' + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.7

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 y}$ .

$x (2 \cdot e^{2 y}) + e^{2 y} x' + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 x e^{2 y} + e^{2 y} x' + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x e^{2 y} + e^{2 y} x' + 1$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x e^{2 y} + e^{2 y} x' + 1 = 0$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 x e^{2 y} + e^{2 y} x' + 1$ .

$2 x e^{2 y} + x' e^{2 y} + 1 = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $2 x e^{2 y}$ des deux côtés de l’équation.

$x' e^{2 y} + 1 = - 2 x e^{2 y}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x' e^{2 y} = - 2 x e^{2 y} - 1$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $x' e^{2 y} = - 2 x e^{2 y} - 1$ par $e^{2 y}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $x' e^{2 y} = - 2 x e^{2 y} - 1$ par $e^{2 y}$ .

$\frac{x' e^{2 y}}{e^{2 y}} = \frac{- 2 x e^{2 y}}{e^{2 y}} + \frac{- 1}{e^{2 y}}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 y}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' e^{2 y}}{e^{2 y}} = \frac{- 2 x e^{2 y}}{e^{2 y}} + \frac{- 1}{e^{2 y}}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- 2 x e^{2 y}}{e^{2 y}} + \frac{- 1}{e^{2 y}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 y}$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{- 2 x e^{2 y}}{e^{2 y}} + \frac{- 1}{e^{2 y}}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Divisez $- 2 x$ par $1$ .

$x' = - 2 x + \frac{- 1}{e^{2 y}}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - 2 x - \frac{1}{e^{2 y}}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - 2 x - \frac{1}{e^{2 y}}$