Algèbre Exemples

$y = x {(x - 4)}^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x {(x - 4)}^{3})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3})]$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3})]$

Étape 3.2.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3})]$

Étape 3.2.3

Multipliez $16$ par $3$ .

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3})]$

Étape 3.2.4

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64)]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ .

$x \frac{d}{d y} [x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64] + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]$ .

$x (\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{3}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x$ .

$x (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.6

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x (3 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.7

Comme $- 12$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $y$ est $- 12 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$x (3 x^{2} x' - 12 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x$ .

$x (3 x^{2} x' - 12 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (3 x^{2} x' - 12 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x$ .

$x (3 x^{2} x' - 12 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.9

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.10

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.11

Comme $48$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $48 x$ par rapport à $y$ est $48 \frac{d}{d y} [x]$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.12

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x' + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.13

Comme $- 64$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 64$ par rapport à $y$ est $0$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x' + 0) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.14

Additionnez $3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x'$ et $0$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x') + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.15

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x') + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) x'$

Étape 3.16

Simplifiez

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Étape 3.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (3 x^{2} x') + x (- 24 x x') + x (48 x') + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) x'$

Étape 3.16.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (3 x^{2} x') + x (- 24 x x') + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Étape 3.16.3

Associez des termes.

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Étape 3.16.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 (x^{1} x^{2}) x' + x (- 24 x x') + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Étape 3.16.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{1 + 2} x' + x (- 24 x x') + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Étape 3.16.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 x^{3} x' + x (- 24 x x') + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Étape 3.16.3.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{3} x' - 24 (x^{1} x) x' + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Étape 3.16.3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{3} x' - 24 (x^{1} x^{1}) x' + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Étape 3.16.3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{3} x' - 24 x^{1 + 1} x' + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Étape 3.16.3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 x^{3} x' - 24 x^{2} x' + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Étape 3.16.3.8

Additionnez $3 x^{3} x'$ et $x^{3} x'$ .

$4 x^{3} x' - 24 x^{2} x' + x (48 x') - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Étape 3.16.3.9

Soustrayez $12 x^{2} x'$ de $- 24 x^{2} x'$ .

$4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + x (48 x') + 48 x x' - 64 x'$

Étape 3.16.3.10

Additionnez $x (48 x')$ et $48 x x'$ .

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Étape 3.16.3.10.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $48$ .

$4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 48 \cdot x x' + 48 x x' - 64 x'$

Étape 3.16.3.10.2

Additionnez $48 \cdot x x'$ et $48 x x'$ .

$4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = 4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x' = 1$ .

$4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x' = 1$

Étape 5.2

Factorisez $4 x'$ à partir de $4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $4 x'$ à partir de $4 x^{3} x'$ .

$4 x' x^{3} - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x' = 1$

Étape 5.2.2

Factorisez $4 x'$ à partir de $- 36 x^{2} x'$ .

$4 x' x^{3} + 4 x' (- 9 x^{2}) + 96 x x' - 64 x' = 1$

Étape 5.2.3

Factorisez $4 x'$ à partir de $96 x x'$ .

$4 x' x^{3} + 4 x' (- 9 x^{2}) + 4 x' (24 x) - 64 x' = 1$

Étape 5.2.4

Factorisez $4 x'$ à partir de $- 64 x'$ .

$4 x' x^{3} + 4 x' (- 9 x^{2}) + 4 x' (24 x) + 4 x' \cdot - 16 = 1$

Étape 5.2.5

Factorisez $4 x'$ à partir de $4 x' x^{3} + 4 x' (- 9 x^{2})$ .

$4 x' (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 x' (24 x) + 4 x' \cdot - 16 = 1$

Étape 5.2.6

Factorisez $4 x'$ à partir de $4 x' (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 x' (24 x)$ .

$4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 x' \cdot - 16 = 1$

Étape 5.2.7

Factorisez $4 x'$ à partir de $4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 x' \cdot - 16$ .

$4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 1$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 1$ par $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 1$ par $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)$ .

$\frac{4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$