Algèbre Exemples

$z = x^{y} + \ln (x y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (z) = \frac{d}{d y} (x^{y} + \ln (x y))$

Étape 2

Comme $z$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $z$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{y} + \ln (x y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [x^{y}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance généralisée qui indique que $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ est $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ où $f = x$ et $g = y$ .

$\frac{d}{d y} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + 1 (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Étape 3.2.4

Multipliez $x^{y}$ par $1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \ln (y)$ et $g (y) = x y$ .

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Étape 3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 3.3.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y x')$

Étape 3.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x + y x')$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} x + \frac{1}{x y} (y x')$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Associez $\frac{1}{x y}$ et $x$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

Étape 3.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{1}{x y} (y x')$

Étape 3.4.2.3

Associez $y$ et $\frac{1}{x y}$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y}{x y} x'$

Étape 3.4.2.4

Associez $\frac{y}{x y}$ et $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

Étape 3.4.2.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

Étape 3.4.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

Étape 3.4.2.6

Pour écrire $x' (y x^{y - 1})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y}{y} + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

Étape 3.4.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Étape 3.4.2.8

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Étape 3.4.2.9

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y^{1}) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Étape 3.4.2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{1 + 1} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Étape 3.4.2.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Étape 3.4.2.12

Pour écrire $x^{y} \ln (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y}{y} + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Étape 3.4.2.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Étape 3.4.2.14

Pour écrire $\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x}$

Étape 3.4.2.15

Pour écrire $\frac{x'}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 3.4.2.16

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.2.16.1

Multipliez $\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 3.4.2.16.2

Multipliez $\frac{x'}{x}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x' y}{x y}$

Étape 3.4.2.16.3

Réorganisez les facteurs de $y x$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{x y} + \frac{x' y}{x y}$

Étape 3.4.2.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x + x' y}{x y}$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) + y x'}{x y}$

Étape 3.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez

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Étape 3.4.4.2.1

Multipliez $x$ par $x^{y}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.4.2.1.1

Déplacez $x^{y}$ .

$\frac{x^{y} x (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Multipliez $x^{y}$ par $x$ .

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Étape 3.4.4.2.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{y} x^{1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Étape 3.4.4.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Étape 3.4.4.2.2

Multipliez $x$ par $x^{y - 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.4.2.2.1

Déplacez $x^{y - 1}$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Étape 3.4.4.2.2.2

Multipliez $x^{y - 1}$ par $x$ .

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Étape 3.4.4.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x^{1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Étape 3.4.4.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1 + 1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Étape 3.4.4.2.2.3

Associez les termes opposés dans $y - 1 + 1$ .

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Étape 3.4.4.2.2.3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y + 0} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Étape 3.4.4.2.2.3.2

Additionnez $y$ et $0$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Étape 3.4.4.2.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$

Étape 3.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$ .

$\frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$0 = \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x' = 0$

Étape 5.2

Résolvez l’équation pour $x'$ .

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Étape 5.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'$ .

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x' x^{y} + x + y x' = 0$

Étape 5.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $y x^{y + 1} \ln (x)$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} x' x^{y} + x + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x)$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} x' x^{y} + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Étape 5.2.3

Factorisez $y x'$ à partir de $y^{2} x' x^{y} + y x'$ .

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $y x'$ à partir de $y^{2} x' x^{y}$ .

$y x' (y x^{y}) + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Étape 5.2.3.2

Factorisez $y x'$ à partir de $y x'$ .

$y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1 = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Étape 5.2.3.3

Factorisez $y x'$ à partir de $y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1$ .

$y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Étape 5.2.4

Divisez chaque terme dans $y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ par $y (y x^{y} + 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.2.4.1

Divisez chaque terme dans $y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ par $y (y x^{y} + 1)$ .

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Étape 5.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Étape 5.2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Étape 5.2.4.2.2

Annulez le facteur commun de $y x^{y} + 1$ .

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Étape 5.2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Étape 5.2.4.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Étape 5.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

Étape 5.2.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y x^{y + 1} \ln (x)$ .

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

Étape 5.2.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)}{y (y x^{y} + 1)}$

Étape 5.2.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)$ .

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

Étape 5.2.4.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.4.3.5.1

Réécrivez $- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ comme $- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ .

$x' = \frac{- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

Étape 5.2.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$