Algèbre Exemples

$\frac{5 x}{x^{2} + 2 x - 8} \geq 3$

Étape 1

Résolvez $- 4 < x \leq - 3 or 2 < x \leq \frac{8}{3}$ .

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $x^{2} + 2 x - 8$ .

$\frac{5 x}{x^{2} + 2 x - 8} (x^{2} + 2 x - 8) = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 2 x - 8$ .

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Étape 1.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{x^{2} + 2 x - 8} (x^{2} + 2 x - 8) = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$

Étape 1.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$5 x = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez $3 (x^{2} + 2 x - 8)$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x = 3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 8$

Étape 1.2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.2.1.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$5 x = 3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot - 8$

Étape 1.2.2.1.2.2

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$5 x = 3 x^{2} + 6 x - 24$

Étape 1.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$3 x^{2} + 6 x - 24 = 5 x$

Étape 1.3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.3.2.1

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + 6 x - 24 - 5 x = 0$

Étape 1.3.2.2

Soustrayez $5 x$ de $6 x$ .

$3 x^{2} + x - 24 = 0$

Étape 1.3.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.3.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 24 = - 72$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Multipliez par $1$ .

$3 x^{2} + 1 x - 24 = 0$

Étape 1.3.3.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 8$ plus $9$

$3 x^{2} + (- 8 + 9) x - 24 = 0$

Étape 1.3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 8 x + 9 x - 24 = 0$

Étape 1.3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.3.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 8 x) + 9 x - 24 = 0$

Étape 1.3.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x - 8) + 3 (3 x - 8) = 0$

Étape 1.3.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 8$ .

$(3 x - 8) (x + 3) = 0$

Étape 1.3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 8 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 1.3.5

Définissez $3 x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.3.5.1

Définissez $3 x - 8$ égal à $0$ .

$3 x - 8 = 0$

Étape 1.3.5.2

Résolvez $3 x - 8 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.3.5.2.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 8$

Étape 1.3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 8$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 8$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Étape 1.3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Étape 1.3.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{8}{3}$

Étape 1.3.6

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.3.6.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 1.3.6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 1.3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 8) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{8}{3}, - 3$

Étape 1.4

Déterminez le domaine de $\frac{5 x}{(x - 2) (x + 4)} - 3$ .

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Étape 1.4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{5 x}{(x - 2) (x + 4)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Étape 1.4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 1.4.2.2

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.4.2.2.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.4.2.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.4.2.3

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.4.2.3.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 1.4.2.3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 1.4.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 2, - 4$

Étape 1.4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 1.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$2 < x < \frac{8}{3}$

$x > \frac{8}{3}$

Étape 1.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 1.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 (- 6)}{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 8} \geq 3$

Étape 1.6.1.3

Le côté gauche $- 1.875$ est inférieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3.5$

Étape 1.6.2.2

Remplacez $x$ par $- 3.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 (- 3.5)}{{(- 3.5)}^{2} + 2 (- 3.5) - 8} \geq 3$

Étape 1.6.2.3

Le côté gauche $6.\overline{36}$ est supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.6.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 (0)}{{(0)}^{2} + 2 (0) - 8} \geq 3$

Étape 1.6.3.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.6.4

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < \frac{8}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.6.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < \frac{8}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2.33$

Étape 1.6.4.2

Remplacez $x$ par $2.33$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 (2.33)}{{(2.33)}^{2} + 2 (2.33) - 8} \geq 3$

Étape 1.6.4.3

Le côté gauche $5.57709799$ est supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.6.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{8}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.6.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{8}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 1.6.5.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 (5)}{{(5)}^{2} + 2 (5) - 8} \geq 3$

Étape 1.6.5.3

Le côté gauche $0.\overline{925}$ est inférieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.6.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 2$ Faux

$2 < x < \frac{8}{3}$ Vrai

$x > \frac{8}{3}$ Faux

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 2$ Faux

$2 < x < \frac{8}{3}$ Vrai

$x > \frac{8}{3}$ Faux

Étape 1.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 < x \leq - 3$ ou $2 < x \leq \frac{8}{3}$

Étape 2

Utilisez l’inégalité $- 4 < x \leq - 3 or 2 < x \leq \frac{8}{3}$ pour créer la notation de l’ensemble.

${x | - 4 < x \leq - 3 or 2 < x \leq \frac{8}{3}}$

Étape 3