Algèbre Exemples

$y = 1 + \sqrt{5 x}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 x}$ comme ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 1 + {(5 x)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (1 + {(5 x)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + {(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de produit à $5 (x)$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2.3

Comme $5^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 + 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 4.2.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 4.2.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$0 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 4.2.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$0 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 4.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 4.2.10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + 5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.2.11

Associez $5^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.2.12

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3

Additionnez $0$ et $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$