Algèbre Exemples

$y = \frac{8}{x^{2}} + 4$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{2}} + 4)$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{8}{x^{2}} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$8 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$8 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$8 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$8 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$8 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.10

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$- 16 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 16 x^{- 3} + 0$

Étape 3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 \frac{1}{x^{3}} + 0$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Associez $- 16$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 16}{x^{3}} + 0$

Étape 3.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16}{x^{3}} + 0$

Étape 3.4.2.3

Additionnez $- \frac{16}{x^{3}}$ et $0$ .

$- \frac{16}{x^{3}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{16}{x^{3}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16}{x^{3}}$