Algèbre Exemples

$y = \frac{4 \ln (x + 9)}{x^{2}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 \ln (x + 9)}{x^{2}})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 \ln (x + 9)}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 9)}{x^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 9)}{x^{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x + 9)$ et $g (x) = x^{2}$ .

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 9)] - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 9)] - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 9)] - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x + 9$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 9$ .

$4 \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 9]) - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.4.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$4 \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 9]) - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 9$ .

$4 \frac{x^{2} (\frac{1}{x + 9} \frac{d}{d x} [x + 9]) - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Associez $\frac{1}{x + 9}$ et $x^{2}$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 9} \frac{d}{d x} [x + 9] - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 9} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 9} (1 + \frac{d}{d x} [9]) - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.5.4

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 9} (1 + 0) - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 9} \cdot 1 - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.5.5.2

Multipliez $\frac{x^{2}}{x + 9}$ par $1$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 9} - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.6

Multipliez $\frac{\frac{x^{2}}{x + 9} - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ par $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$4 (\frac{x + 9}{x + 9} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{x + 9} - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}})$

Étape 3.7

Simplifiez les termes.

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Étape 3.7.1

Associez.

$4 \frac{(x + 9) (\frac{x^{2}}{x + 9} - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 9) x^{4}}$

Étape 3.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 \frac{(x + 9) \frac{x^{2}}{x + 9} + (x + 9) (- \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 9) x^{4}}$

Étape 3.7.3

Annulez le facteur commun de $x + 9$ .

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Étape 3.7.3.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{(x + 9) \frac{x^{2}}{x + 9} + (x + 9) (- \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 9) x^{4}}$

Étape 3.7.3.2

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{x^{2} + (x + 9) (- \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 9) x^{4}}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + (x + 9) (- \ln (x + 9) (2 x))}{(x + 9) x^{4}}$

Étape 3.9

Associez les fractions.

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Étape 3.9.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} + (x + 9) (- 2 \ln (x + 9) x)}{(x + 9) x^{4}}$

Étape 3.9.2

Associez $4$ et $\frac{x^{2} + (x + 9) (- 2 \ln (x + 9) x)}{(x + 9) x^{4}}$ .

$\frac{4 (x^{2} + (x + 9) (- 2 \ln (x + 9) x))}{(x + 9) x^{4}}$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 9) (- 2 \ln (x + 9) x))}{(x + 9) x^{4}}$

Étape 3.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 9) (- 2 \ln (x + 9) x))}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.10.3.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (x + 9)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 9) (- \ln ({(x + 9)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 4 (x (- \ln ({(x + 9)}^{2}) x) + 9 (- \ln ({(x + 9)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 9)}^{2}) x) + 9 (- \ln ({(x + 9)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3.1.4

Multipliez $9 (- \ln ({(x + 9)}^{2}) x)$ .

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Étape 3.10.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 9)}^{2}) x) - 9 (\ln ({(x + 9)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3.1.4.2

Remettez dans l’ordre $\ln ({(x + 9)}^{2})$ et $- 9$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 9)}^{2}) x) - 9 \cdot \ln ({(x + 9)}^{2}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3.1.4.3

Simplifiez $- 9 \cdot \ln ({(x + 9)}^{2})$ en déplaçant $9$ dans le logarithme.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 9)}^{2}) x) - \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{9}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.10.3.1.5.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.10.3.1.5.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- (x \cdot x) \ln ({(x + 9)}^{2}) - \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{9}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3.1.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 9)}^{2}) - \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{9}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3.1.5.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 9)}^{2})}^{9}$ .

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Étape 3.10.3.1.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 9)}^{2}) - \ln ({(x + 9)}^{2 \cdot 9}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3.1.5.2.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 9)}^{2}) - \ln ({(x + 9)}^{18}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 9)}^{2})) + 4 (- \ln ({(x + 9)}^{18}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3.1.7

Multipliez $4 (- x^{2} \ln ({(x + 9)}^{2}))$ .

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Étape 3.10.3.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 4 (x^{2} \ln ({(x + 9)}^{2})) + 4 (- \ln ({(x + 9)}^{18}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3.1.7.2

Simplifiez $- 4 \ln ({(x + 9)}^{2})$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{4})) + 4 (- \ln ({(x + 9)}^{18}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3.1.8

Multipliez $4 (- \ln ({(x + 9)}^{18}) x)$ .

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Étape 3.10.3.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{4})) - 4 (\ln ({(x + 9)}^{18}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3.1.8.2

Remettez dans l’ordre $\ln ({(x + 9)}^{18})$ et $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{4})) - 4 \cdot \ln ({(x + 9)}^{18}) x}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3.1.8.3

Simplifiez $- 4 \cdot \ln ({(x + 9)}^{18})$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{4})) - \ln ({({(x + 9)}^{18})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.10.3.1.9.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{4}) - \ln ({({(x + 9)}^{18})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3.1.9.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 9)}^{2})}^{4}$ .

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Étape 3.10.3.1.9.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{2 \cdot 4}) - \ln ({({(x + 9)}^{18})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3.1.9.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({({(x + 9)}^{18})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3.1.9.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 9)}^{18})}^{4}$ .

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Étape 3.10.3.1.9.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({(x + 9)}^{18 \cdot 4}) x}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3.1.9.3.2

Multipliez $18$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({(x + 9)}^{72}) x}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({(x + 9)}^{72}) x$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - x \ln ({(x + 9)}^{72})}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.4

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.10.4.1

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 3.10.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - x \ln ({(x + 9)}^{72})}{x^{1} x^{4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - x \ln ({(x + 9)}^{72})}{x^{1 + 4} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.4.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - x \ln ({(x + 9)}^{72})}{x^{5} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.5

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - x \ln ({(x + 9)}^{72})$ .

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Étape 3.10.5.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{x (4 x) - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - x \ln ({(x + 9)}^{72})}{x^{5} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8})$ .

$\frac{x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 9)}^{8})) - x \ln ({(x + 9)}^{72})}{x^{5} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.5.3

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln ({(x + 9)}^{72})$ .

$\frac{x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 9)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 9)}^{72}))}{x^{5} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.5.4

Factorisez $x$ à partir de $x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 9)}^{8}))$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 9)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 9)}^{72}))}{x^{5} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.5.5

Factorisez $x$ à partir de $x (4 x - x \ln ({(x + 9)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 9)}^{72}))$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({(x + 9)}^{72}))}{x^{5} + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.6

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{5} + 9 x^{4}$ .

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Étape 3.10.6.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({(x + 9)}^{72}))}{x^{4} x + 9 x^{4}}$

Étape 3.10.6.2

Factorisez $x^{4}$ à partir de $9 x^{4}$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({(x + 9)}^{72}))}{x^{4} x + x^{4} \cdot 9}$

Étape 3.10.6.3

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{4} x + x^{4} \cdot 9$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({(x + 9)}^{72}))}{x^{4} (x + 9)}$

Étape 3.10.7

Développez $\ln ({(x + 9)}^{8})$ en déplaçant $8$ hors du logarithme.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 9)) - \ln ({(x + 9)}^{72}))}{x^{4} (x + 9)}$

Étape 3.10.8

Développez $\ln ({(x + 9)}^{72})$ en déplaçant $72$ hors du logarithme.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 9)) - (72 \ln (x + 9)))}{x^{4} (x + 9)}$

Étape 3.10.9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.9.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4} (x + 9)$ .

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 9)) - (72 \ln (x + 9)))}{x (x^{3} (x + 9))}$

Étape 3.10.9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 9)) - (72 \ln (x + 9)))}{x (x^{3} (x + 9))}$

Étape 3.10.9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x - x (8 \ln (x + 9)) - (72 \ln (x + 9))}{x^{3} (x + 9)}$

Étape 3.10.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.10.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{4 x - 8 x \ln (x + 9) - 1 \cdot 72 \ln (x + 9)}{x^{3} (x + 9)}$

Étape 3.10.10.2

Multipliez $- 1$ par $72$ .

$\frac{4 x - 8 x \ln (x + 9) - 72 \ln (x + 9)}{x^{3} (x + 9)}$

Étape 3.10.10.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x - 8 x \ln (x + 9) - 72 \ln (x + 9)$ .

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Étape 3.10.10.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{4 (x) - 8 x \ln (x + 9) - 72 \ln (x + 9)}{x^{3} (x + 9)}$

Étape 3.10.10.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 8 x \ln (x + 9)$ .

$\frac{4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 9)) - 72 \ln (x + 9)}{x^{3} (x + 9)}$

Étape 3.10.10.3.3

Factorisez $4$ à partir de $- 72 \ln (x + 9)$ .

$\frac{4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 9)) + 4 (- 18 \ln (x + 9))}{x^{3} (x + 9)}$

Étape 3.10.10.3.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 9))$ .

$\frac{4 (x - 2 x \ln (x + 9)) + 4 (- 18 \ln (x + 9))}{x^{3} (x + 9)}$

Étape 3.10.10.3.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x - 2 x \ln (x + 9)) + 4 (- 18 \ln (x + 9))$ .

$\frac{4 (x - 2 x \ln (x + 9) - 18 \ln (x + 9))}{x^{3} (x + 9)}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{4 (x - 2 x \ln (x + 9) - 18 \ln (x + 9))}{x^{3} (x + 9)}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (x - 2 x \ln (x + 9) - 18 \ln (x + 9))}{x^{3} (x + 9)}$