Algèbre Exemples

$\ln (x^{2} + y^{2}) = x y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2})) = \frac{d}{d x} (x y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$

Étape 2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2 x + 2 y y'$ par $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{2 x + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 y y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.5.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 y y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.5.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Étape 3.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$x y' + y$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} = x y' + y$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2}) = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Étape 5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Simplifiez $\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2}) = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Étape 5.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 (x + y y') = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 2 (y y') = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Étape 5.2.1.1.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1.3.1

Déplacez $y$ .

$2 x + 2 y' y = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Étape 5.2.1.1.3.2

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $2 y' y$ .

$2 y' y + 2 x = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Simplifiez $(x y' + y) (x^{2} + y^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Développez $(x y' + y) (x^{2} + y^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y' y + 2 x = x y' (x^{2} + y^{2}) + y (x^{2} + y^{2})$

Étape 5.2.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 y' y + 2 x = x y' x^{2} + x y' y^{2} + y (x^{2} + y^{2})$

Étape 5.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 y' y + 2 x = x y' x^{2} + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 y' y + 2 x = x^{2} x y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 y' y + 2 x = x^{2} x^{1} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 y' y + 2 x = x^{2 + 1} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2.1.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.2.1.2.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.2.1.2.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{1} y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{1 + 2}$

Étape 5.2.2.1.2.1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{3}$

Étape 5.2.2.1.2.2

Simplifiez en utilisant la commutativité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.2.2.1

Remettez dans l’ordre $x^{3}$ et $y'$ .

$2 y' y + 2 x = y' x^{3} + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{3}$

Étape 5.2.2.1.2.2.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $y'$ .

$2 y' y + 2 x = y' x^{3} + y' x y^{2} + y x^{2} + y^{3}$

Étape 5.2.2.1.2.2.3

Remettez dans l’ordre $y$ et $x^{2}$ .

$2 y' y + 2 x = y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y + y^{3}$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Comme $y'$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y + y^{3} = 2 y' y + 2 x$

Étape 5.3.2

Soustrayez $2 y' y$ des deux côtés de l’équation.

$y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y + y^{3} - 2 y' y = 2 x$

Étape 5.3.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Soustrayez $x^{2} y$ des deux côtés de l’équation.

$y' x^{3} + y' x y^{2} + y^{3} - 2 y' y = 2 x - x^{2} y$

Étape 5.3.3.2

Soustrayez $y^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Étape 5.3.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' x^{3}$ .

$y' (x^{3}) + y' (x) y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Étape 5.3.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' x y^{2}$ .

$y' (x^{3}) + y' (x y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Étape 5.3.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y' y$ .

$y' (x^{3}) + y' (x y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Étape 5.3.4.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x^{3}) + y' (x y^{2})$ .

$y' (x^{3} + x y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Étape 5.3.4.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x^{3} + x y^{2}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Étape 5.3.5

Divisez chaque terme dans $y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$ par $x^{3} + x y^{2} - 2 y$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$ par $x^{3} + x y^{2} - 2 y$ .

$\frac{y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y)}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Étape 5.3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3} + x y^{2} - 2 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y)}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Étape 5.3.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Étape 5.3.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Étape 5.3.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Étape 5.3.5.3.2

Associez en une fraction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 x - x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Étape 5.3.5.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 x - x^{2} y - y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - x^{2} y - y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$